Номер 4.60, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.60, страница 110.

Условие.

4.60 a) $f(x) = (2x + 1)^8$;

B) $f(x) = (4x - 3)^{10}$;

б) $f(x) = (-2x - 3)^9$;

Г) $f(x) = (3x + 4)^{25}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для нахождения производной функции $f(x) = (2x + 1)^8$ мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Формула производной сложной функции: $(h(g(x)))' = h'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $h(u) = u^8$ и внутренняя функция $g(x) = 2x + 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^8)' = 8u^{8-1} = 8u^7$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

Теперь подставим все в формулу производной сложной функции, заменив $u$ на $2x+1$:

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) = 8(2x + 1)^7 \cdot 2$.

$f'(x) = 16(2x + 1)^7$.

Ответ: $f'(x) = 16(2x + 1)^7$.

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = (-2x - 3)^9$ используем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^9$. Внутренняя функция: $g(x) = -2x - 3$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^9)' = 9u^8$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (-2x - 3)' = -2$.

Подставляем в формулу для производной сложной функции $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 9(-2x - 3)^8 \cdot (-2)$.

$f'(x) = -18(-2x - 3)^8$.

Ответ: $f'(x) = -18(-2x - 3)^8$.

в)

Для нахождения производной функции $f(x) = (4x - 3)^{10}$ применяем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^{10}$. Внутренняя функция: $g(x) = 4x - 3$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^{10})' = 10u^9$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x - 3)' = 4$.

Собираем производную сложной функции по формуле $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 10(4x - 3)^9 \cdot 4$.

$f'(x) = 40(4x - 3)^9$.

Ответ: $f'(x) = 40(4x - 3)^9$.

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = (3x + 4)^{25}$ используем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^{25}$. Внутренняя функция: $g(x) = 3x + 4$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^{25})' = 25u^{24}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x + 4)' = 3$.

Подставляем найденные производные в формулу $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 25(3x + 4)^{24} \cdot 3$.

$f'(x) = 75(3x + 4)^{24}$.

Ответ: $f'(x) = 75(3x + 4)^{24}$.