Номер 4.61, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.61, страница 110.

Условие.

4.61 Запишите формулу для вычисления производной функции $y = x^{\alpha}$, $\alpha$ — нецелое число. При каких значениях $x$ справедлива эта формула?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Запишите формулу для вычисления производной функции $y = x^{\alpha}$, $\alpha$ — нецелое число.

Формула для вычисления производной степенной функции $y = x^\alpha$, также известная как "степенное правило", имеет следующий вид:

$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

Эта формула является обобщением правила дифференцирования для натуральных показателей и верна для любого действительного показателя степени $\alpha$.

Ответ: $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

При каких значениях $x$ справедлива эта формула?

Чтобы определить, при каких значениях $x$ справедлива данная формула, необходимо рассмотреть область определения функции $y = x^\alpha$, когда $\alpha$ является нецелым числом.

Для произвольного действительного (в том числе нецелого или иррационального) показателя $\alpha$, степенная функция $y = x^\alpha$ определяется через основное логарифмическое тождество с использованием экспоненты и натурального логарифма:

$x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$

Функция натурального логарифма $\ln x$ определена только для положительных значений своего аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, область определения функции $y=x^\alpha$ для общего случая нецелого $\alpha$ — это интервал $(0, +\infty)$.

Функция может быть дифференцируема только в тех точках, где она определена. Поскольку и сама функция $y = x^\alpha$, и выражение для её производной $y' = \alpha x^{\alpha-1}$ определены на интервале $(0, +\infty)$, то и формула для производной справедлива на этом же интервале.

Ответ: Формула справедлива при $x > 0$.