Номер 4.55, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.55, страница 110.

Условие.

4.55 a) $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x;$

Б) $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x);$

В) $f(x) = \ln(2x);$

Г) $f(x) = \ln(5x - 10).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$12x > 0 \implies x > 0$$x > 0$Следовательно, ОДЗ функции: $x \in (0, +\infty)$.

Для нахождения производной приведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.

$\log_4(12x) = \frac{\log_2(12x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(12x)}{2}$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(12x) - \log_2 x$

Теперь применим свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$f(x) = \frac{1}{2}(\log_2 12 + \log_2 x) - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 + \frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x$

Теперь можем найти производную. Производная от константы $\frac{1}{2}\log_2 12$ равна нулю. Для нахождения производной от $\log_2 x$ используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x\right)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{1}{2x \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x \ln 2}$

б) Дана функция $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x)$.

ОДЗ: аргумент логарифма $-x$ должен быть положительным, то есть $-x > 0$, что означает $x < 0$.

Приведем логарифмы к общему основанию 2:

$\log_4(-x) = \frac{\log_2(-x)}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2(-x)$

Подставим в функцию и упростим выражение:

$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(-x) + \log_2(-x) = \left(\frac{1}{2} + 1\right)\log_2(-x) = \frac{3}{2}\log_2(-x)$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u = -x$, тогда $u' = -1$. Формула производной: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot (\log_2(-x))' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-x \cdot \ln 2} \cdot (-x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{-1}{-x \ln 2} = \frac{3}{2x \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2x \ln 2}$

в) Дана функция $f(x) = \ln(2x)$.

ОДЗ: $2x > 0 \implies x > 0$.

Способ 1: Использование цепного правила. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

$f'(x) = (\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

Способ 2: Использование свойств логарифма.

$f(x) = \ln(2x) = \ln 2 + \ln x$

Производная от константы $\ln 2$ равна нулю.

$f'(x) = (\ln 2 + \ln x)' = 0 + (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$

г) Дана функция $f(x) = \ln(5x - 10)$.

ОДЗ: $5x - 10 > 0 \implies 5x > 10 \implies x > 2$.

Способ 1: Использование цепного правила. Пусть $u = 5x - 10$, тогда $u' = 5$.

$f'(x) = (\ln(5x - 10))' = \frac{1}{5x - 10} \cdot (5x - 10)' = \frac{1}{5x - 10} \cdot 5 = \frac{5}{5(x - 2)} = \frac{1}{x-2}$

Способ 2: Использование свойств логарифма.

$f(x) = \ln(5(x-2)) = \ln 5 + \ln(x-2)$

Находим производную. Производная от константы $\ln 5$ равна нулю. Для $\ln(x-2)$ используем цепное правило.

$f'(x) = (\ln 5 + \ln(x-2))' = 0 + \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{x-2} \cdot 1 = \frac{1}{x-2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x-2}$