Номер 4.55, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.55, страница 110.
№4.55 (с. 110)
Условие. №4.55 (с. 110)
скриншот условия

4.55 a) $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x;$
Б) $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x);$
В) $f(x) = \ln(2x);$
Г) $f(x) = \ln(5x - 10).$
Решение 1. №4.55 (с. 110)




Решение 2. №4.55 (с. 110)

Решение 4. №4.55 (с. 110)
а) Дана функция $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$12x > 0 \implies x > 0$$x > 0$Следовательно, ОДЗ функции: $x \in (0, +\infty)$.
Для нахождения производной приведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.
$\log_4(12x) = \frac{\log_2(12x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(12x)}{2}$
Подставим это выражение в исходную функцию:
$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(12x) - \log_2 x$
Теперь применим свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$f(x) = \frac{1}{2}(\log_2 12 + \log_2 x) - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 + \frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x$
Теперь можем найти производную. Производная от константы $\frac{1}{2}\log_2 12$ равна нулю. Для нахождения производной от $\log_2 x$ используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x\right)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{1}{2x \ln 2}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x \ln 2}$
б) Дана функция $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x)$.
ОДЗ: аргумент логарифма $-x$ должен быть положительным, то есть $-x > 0$, что означает $x < 0$.
Приведем логарифмы к общему основанию 2:
$\log_4(-x) = \frac{\log_2(-x)}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2(-x)$
Подставим в функцию и упростим выражение:
$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(-x) + \log_2(-x) = \left(\frac{1}{2} + 1\right)\log_2(-x) = \frac{3}{2}\log_2(-x)$
Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u = -x$, тогда $u' = -1$. Формула производной: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot (\log_2(-x))' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-x \cdot \ln 2} \cdot (-x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{-1}{-x \ln 2} = \frac{3}{2x \ln 2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2x \ln 2}$
в) Дана функция $f(x) = \ln(2x)$.
ОДЗ: $2x > 0 \implies x > 0$.
Способ 1: Использование цепного правила. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
$f'(x) = (\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$
Способ 2: Использование свойств логарифма.
$f(x) = \ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
Производная от константы $\ln 2$ равна нулю.
$f'(x) = (\ln 2 + \ln x)' = 0 + (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$
г) Дана функция $f(x) = \ln(5x - 10)$.
ОДЗ: $5x - 10 > 0 \implies 5x > 10 \implies x > 2$.
Способ 1: Использование цепного правила. Пусть $u = 5x - 10$, тогда $u' = 5$.
$f'(x) = (\ln(5x - 10))' = \frac{1}{5x - 10} \cdot (5x - 10)' = \frac{1}{5x - 10} \cdot 5 = \frac{5}{5(x - 2)} = \frac{1}{x-2}$
Способ 2: Использование свойств логарифма.
$f(x) = \ln(5(x-2)) = \ln 5 + \ln(x-2)$
Находим производную. Производная от константы $\ln 5$ равна нулю. Для $\ln(x-2)$ используем цепное правило.
$f'(x) = (\ln 5 + \ln(x-2))' = 0 + \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{x-2} \cdot 1 = \frac{1}{x-2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x-2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.55 расположенного на странице 110 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.55 (с. 110), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.