Номер 4.50, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.50, страница 107.

Условие.

4.50 Найдите значения $x$, при которых производная функции

$y = \frac{\ln x}{x}$:

а) равна нулю;

б) положительна;

в) отрицательна.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $y = \frac{\ln x}{x}$ равна нулю, положительна или отрицательна, необходимо сначала найти саму производную и ее область определения.

Исходная функция $y = \frac{\ln x}{x}$ определена при $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$. Тогда их производные равны $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

Область определения производной $y'$ совпадает с областью определения исходной функции, то есть $x > 0$. В этой области знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак производной $y'$ зависит только от знака ее числителя $1 - \ln x$.

а) равна нулю
Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:$1 - \ln x = 0$
$\ln x = 1$
$x = e^1 = e$
Ответ: $x = e$.

б) положительна
Производная положительна, когда ее числитель положителен:$1 - \ln x > 0$
$1 > \ln x$
$\ln x < 1$
Поскольку функция $f(t)=\ln t$ является возрастающей, неравенство сохраняет свой знак для аргументов:$x < e$
Учитывая область определения $x > 0$, получаем итоговый интервал: $0 < x < e$.
Ответ: $x \in (0; e)$.

в) отрицательна
Производная отрицательна, когда ее числитель отрицателен:$1 - \ln x < 0$
$1 < \ln x$
$\ln x > 1$
Так как логарифмическая функция является возрастающей:$x > e$
Это решение полностью входит в область определения $x > 0$.
Ответ: $x \in (e; +\infty)$.