Номер 4.50, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.50, страница 107.
№4.50 (с. 107)
Условие. №4.50 (с. 107)
скриншот условия

4.50 Найдите значения $x$, при которых производная функции
$y = \frac{\ln x}{x}$:
а) равна нулю;
б) положительна;
в) отрицательна.
Решение 1. №4.50 (с. 107)



Решение 2. №4.50 (с. 107)

Решение 3. №4.50 (с. 107)

Решение 4. №4.50 (с. 107)
Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $y = \frac{\ln x}{x}$ равна нулю, положительна или отрицательна, необходимо сначала найти саму производную и ее область определения.
Исходная функция $y = \frac{\ln x}{x}$ определена при $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$. Тогда их производные равны $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 1$.
Подставим эти значения в формулу производной частного:$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
Область определения производной $y'$ совпадает с областью определения исходной функции, то есть $x > 0$. В этой области знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак производной $y'$ зависит только от знака ее числителя $1 - \ln x$.
а) равна нулю
Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:$1 - \ln x = 0$
$\ln x = 1$
$x = e^1 = e$
Ответ: $x = e$.
б) положительна
Производная положительна, когда ее числитель положителен:$1 - \ln x > 0$
$1 > \ln x$
$\ln x < 1$
Поскольку функция $f(t)=\ln t$ является возрастающей, неравенство сохраняет свой знак для аргументов:$x < e$
Учитывая область определения $x > 0$, получаем итоговый интервал: $0 < x < e$.
Ответ: $x \in (0; e)$.
в) отрицательна
Производная отрицательна, когда ее числитель отрицателен:$1 - \ln x < 0$
$1 < \ln x$
$\ln x > 1$
Так как логарифмическая функция является возрастающей:$x > e$
Это решение полностью входит в область определения $x > 0$.
Ответ: $x \in (e; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.50 расположенного на странице 107 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.50 (с. 107), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.