Номер 4.49, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.49, страница 107.

Условие.

4.49* a) $f(x) = \cos 2002x \cos 2001x + \sin 2001x \sin 2002x;$

б) $f(x) = \sin 2002x \cos 2001x - \sin 2001x \cos 2002x;$

в) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} 2002x - \operatorname{tg} 2001x}{1 + \operatorname{tg} 2002x \operatorname{tg} 2001x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение $f(x) = \cos2002x \cos2001x + \sin2001x \sin2002x$. Данное выражение можно упростить, используя формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \cos(2002x - 2001x) = \cos((2002 - 2001)x) = \cos(x)$.
Ответ: $f(x) = \cos x$.

б) Исходное выражение $f(x) = \sin2002x \cos2001x - \sin2001x \cos2002x$. Данное выражение можно упростить, используя формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \sin(2002x - 2001x) = \sin((2002 - 2001)x) = \sin(x)$.
Ответ: $f(x) = \sin x$.

в) Исходное выражение $f(x) = \frac{\text{tg}2002x - \text{tg}2001x}{1 + \text{tg}2002x \text{tg}2001x}$. Данное выражение можно упростить, используя формулу тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \text{tg}(2002x - 2001x) = \text{tg}((2002 - 2001)x) = \text{tg}(x)$.
Ответ: $f(x) = \text{tg} x$.