Номер 4.44, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.44, страница 107.

Условие.

4.44 а) $f(x) = \frac{4^x}{2^x}$;

б) $f(x) = \frac{3^x}{9^x}$;

В) $f(x) = \frac{2^x + 4^x}{2^x}$;

Г) $f(x) = \frac{3^x}{3^x + 9^x}$;

Д) $f(x) = \frac{2^x - 4^x}{2^x + 4^x}$;

е) $f(x) = \frac{3^x - 9^x}{3^x + 9^x}$;

Ж) $f(x) = \frac{\lg x}{\lg e}$;

З) $f(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$;

И) $f(x) = \frac{\lg x}{\lg 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения функции $f(x) = \frac{4^x}{2^x}$ воспользуемся свойствами степеней.
Представим основание 4 в виде степени 2: $4 = 2^2$.
Тогда $4^x$ можно записать как $(2^2)^x$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $4^x = 2^{2x}$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$f(x) = \frac{2^{2x}}{2^x}$.
Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$f(x) = 2^{2x-x} = 2^x$.
Ответ: $f(x) = 2^x$.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3^x}{9^x}$.
Представим основание 9 в виде степени 3: $9 = 3^2$.
Тогда $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.
Подставим в исходную функцию:
$f(x) = \frac{3^x}{3^{2x}}$.
Используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$f(x) = 3^{x-2x} = 3^{-x}$.
Выражение также можно записать как $f(x) = (\frac{1}{3})^x$.
Ответ: $f(x) = 3^{-x}$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2^x + 4^x}{2^x}$.
Разделим числитель почленно на знаменатель:
$f(x) = \frac{2^x}{2^x} + \frac{4^x}{2^x}$.
Первое слагаемое равно 1: $\frac{2^x}{2^x} = 1$.
Второе слагаемое упростим, используя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$:
$\frac{4^x}{2^x} = (\frac{4}{2})^x = 2^x$.
Таким образом, функция принимает вид:
$f(x) = 1 + 2^x$.
Ответ: $f(x) = 1 + 2^x$.

г)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3^x}{3^x + 9^x}$.
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = 3^{2x}$.
$f(x) = \frac{3^x}{3^x + 3^{2x}}$.
Вынесем в знаменателе общий множитель $3^x$ за скобки:
$f(x) = \frac{3^x}{3^x(1 + 3^x)}$.
Сократим дробь на $3^x$ (это возможно, так как $3^x > 0$ для любого $x$):
$f(x) = \frac{1}{1 + 3^x}$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{1 + 3^x}$.

д)

Дана функция $f(x) = \frac{2^x - 4^x}{2^x + 4^x}$.
Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$.
$f(x) = \frac{2^x - 2^{2x}}{2^x + 2^{2x}}$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки в числителе и знаменателе:
$f(x) = \frac{2^x(1 - 2^x)}{2^x(1 + 2^x)}$.
Сократим дробь на $2^x$:
$f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$.
Ответ: $f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$.

е)