Номер 4.38, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.38, страница 106.

Условие.

Для любого $x \in \mathbb{R}$ найдите производную функции (4.38–4.39):

4.38 а) $y = x^{11}$;

б) $y = x^{101}$;

в) $y = x^{1001}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения производной функции вида $y = x^n$, где $n$ — постоянное число, используется правило дифференцирования степенной функции:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Это правило применимо для всех $x \in \mathbb{R}$, когда $n$ является натуральным числом, что соответствует условиям задачи.

а) Дана функция $y = x^{11}$.

В этом случае показатель степени $n = 11$. Применяя правило дифференцирования, получаем:

$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11-1} = 11x^{10}$.

Ответ: $y' = 11x^{10}$.

б) Дана функция $y = x^{101}$.

Здесь показатель степени $n = 101$. Находим производную, используя ту же формулу:

$y' = (x^{101})' = 101 \cdot x^{101-1} = 101x^{100}$.

Ответ: $y' = 101x^{100}$.

в) Дана функция $y = x^{1001}$.

Показатель степени в данном случае $n = 1001$. Вычисляем производную:

$y' = (x^{1001})' = 1001 \cdot x^{1001-1} = 1001x^{1000}$.

Ответ: $y' = 1001x^{1000}$.