Номер 4.32, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.32, страница 103.

Условие.

4.32° Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Теорема о производной частного двух функций (также известная как правило частного) формулируется следующим образом.

Формулировка:
Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в некоторой точке $x$, и при этом знаменатель $v(x)$ не равен нулю в этой точке ($v(x) \neq 0$), то их частное $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ также является дифференцируемой функцией в точке $x$.

Производная этого частного вычисляется по формуле:
$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Для удобства и краткости формулу часто записывают, опуская аргумент $x$:
$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Словесное правило:
Производная частного равна дроби, числитель которой представляет собой разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель этой дроби есть квадрат первоначального знаменателя.

Ответ: Теорема о производной частного гласит, что если функции $u$ и $v$ дифференцируемы и $v \neq 0$, то производная их частного $\frac{u}{v}$ вычисляется по формуле: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $.