Номер 4.28, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.28, страница 102.

Условие.

4.28° Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Теорема о производной произведения (правило Лейбница)

Если функции $u = u(x)$ и $v = v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x)v(x)$ также дифференцируемо в этой точке, и его производная находится по формуле:

$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

Словесная формулировка: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй.

Доказательство

Пусть дана функция $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Прибавим и вычтем в числителе дроби слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$. Это не изменит значения выражения:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела суммы, разделим предел на два:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Далее, используя свойство предела произведения, получим:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Теперь проанализируем каждый из четырех пределов:

• $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ — это производная функции $u(x)$ по определению.
• $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$ — это производная функции $v(x)$ по определению.
• Поскольку функция $v(x)$ по условию теоремы дифференцируема в точке $x$, она также и непрерывна в этой точке. Следовательно, $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
• Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.

Подставим найденные значения пределов обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Теорема доказана.

Ответ: Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то производная их произведения вычисляется по формуле $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.