Номер 4.28, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.28, страница 102.
№4.28 (с. 102)
Условие. №4.28 (с. 102)
скриншот условия

4.28° Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.
Решение 1. №4.28 (с. 102)

Решение 2. №4.28 (с. 102)

Решение 4. №4.28 (с. 102)
Теорема о производной произведения (правило Лейбница)
Если функции $u = u(x)$ и $v = v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x)v(x)$ также дифференцируемо в этой точке, и его производная находится по формуле:
$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
Словесная формулировка: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй.
Доказательство
Пусть дана функция $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
Прибавим и вычтем в числителе дроби слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$. Это не изменит значения выражения:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$
Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$
Используя свойство предела суммы, разделим предел на два:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$
Далее, используя свойство предела произведения, получим:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$
Теперь проанализируем каждый из четырех пределов:
- $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ — это производная функции $u(x)$ по определению.
- $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$ — это производная функции $v(x)$ по определению.
- Поскольку функция $v(x)$ по условию теоремы дифференцируема в точке $x$, она также и непрерывна в этой точке. Следовательно, $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
- Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.
Подставим найденные значения пределов обратно в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Теорема доказана.
Ответ: Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то производная их произведения вычисляется по формуле $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.28 расположенного на странице 102 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.28 (с. 102), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.