Номер 4.25, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.25, страница 100.

Условие.

4.25 Для каждой функции в задании 4.24 ответьте на вопрос:

а) Является ли данная функция непрерывной в каждой точке полной области определения?

б) В каждой ли точке функция имеет производную?

в) Если нет, то в какой точке производная не существует?

г) При каких значениях $x$ производная равна нулю; положительна; отрицательна?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для ответа на вопросы из задания 4.25 необходимо предоставить функции из задания 4.24. Без них невозможно провести анализ.

Как только вы предоставите функции, я смогу дать полный и развернутый ответ по каждой из них. Ниже приведен пример решения для гипотетической функции, чтобы продемонстрировать, как будет выглядеть ответ.

---

Пример решения для функции $y = |x^2 - 4|$

а) Является ли данная функция непрерывной в каждой точке полной области определения?

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функцию можно представить в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x^2 - 4 \ge 0 \\ 4 - x^2, & \text{если } x^2 - 4 < 0 \end{cases} \quad \iff \quad f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \\ 4 - x^2, & \text{если } x \in (-2, 2) \end{cases}$

Функция состоит из двух квадратичных функций, которые непрерывны на всей числовой оси. Проверим непрерывность в точках "склейки" $x=-2$ и $x=2$.

В точке $x=-2$:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (x^2 - 4) = (-2)^2 - 4 = 0$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (4 - x^2) = 4 - (-2)^2 = 0$.

Значение функции: $f(-2) = |(-2)^2 - 4| = 0$.

Так как односторонние пределы равны значению функции в точке ($\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2)$), функция непрерывна в точке $x=-2$.

В точке $x=2$:

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0$.

Значение функции: $f(2) = |2^2 - 4| = 0$.

Аналогично, функция непрерывна в точке $x=2$.

Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Да, данная функция является непрерывной в каждой точке полной области определения.

б) В каждой ли точке функция имеет производную?

Найдем производную функции на интервалах, где она задана аналитически.

При $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, производная $f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.

При $x \in (-2, 2)$, производная $f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Проверим существование производной в точках $x=-2$ и $x=2$, вычислив односторонние производные.

В точке $x=-2$:

Левая производная: $f'_-(-2) = \lim_{x \to -2^-} f'(x) = \lim_{x \to -2^-} (2x) = 2(-2) = -4$.

Правая производная: $f'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} f'(x) = \lim_{x \to -2^+} (-2x) = -2(-2) = 4$.

Так как $f'_-(-2) \ne f'_+(-2)$, производная в точке $x=-2$ не существует.

В точке $x=2$:

Левая производная: $f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x) = -2(2) = -4$.

Правая производная: $f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x) = 2(2) = 4$.

Так как $f'_-(2) \ne f'_+(2)$, производная в точке $x=2$ не существует.

Ответ: Нет, не в каждой точке.

в) Если нет, то в какой точке производная не существует?

Как было показано в предыдущем пункте, односторонние производные не совпадают в точках $x=-2$ и $x=2$. Это точки "излома" графика функции, в которых касательная не определена однозначно.

Ответ: Производная не существует в точках $x=-2$ и $x=2$.

г) При каких значениях x производная равна нулю; положительна; отрицательна?

Выражение для производной имеет вид:

$f'(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \\ -2x, & \text{если } x \in (-2, 2) \end{cases}$

1. Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

На интервалах $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ уравнение $2x=0$ имеет корень $x=0$, который не принадлежит этим интервалам.

На интервале $(-2, 2)$ уравнение $-2x=0$ имеет корень $x=0$, который принадлежит этому интервалу.

Следовательно, $f'(x) = 0$ только при $x=0$.

2. Производная положительна: $f'(x) > 0$.

На $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, неравенство $2x > 0$ выполняется при $x > 0$. Учитывая область, получаем $x \in (2, +\infty)$.

На $(-2, 2)$, неравенство $-2x > 0$ выполняется при $x < 0$. Учитывая область, получаем $x \in (-2, 0)$.

Объединяя результаты, $f'(x) > 0$ при $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$.

3. Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

На $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, неравенство $2x < 0$ выполняется при $x < 0$. Учитывая область, получаем $x \in (-\infty, -2)$.

На $(-2, 2)$, неравенство $-2x < 0$ выполняется при $x > 0$. Учитывая область, получаем $x \in (0, 2)$.

Объединяя результаты, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

Ответ: Производная равна нулю при $x=0$; производная положительна при $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$; производная отрицательна при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.