Номер 4.24, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.24, страница 100.

Условие.

4.24 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9};$

б) $y = \sqrt{4x^2 - 4x + 1};$

в) $y = \sqrt{-x^2 + x + 6};$

г) $y = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9}$.
Выражение под знаком корня $x^2 + 6x + 9$ представляет собой формулу квадрата суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде: $y = \sqrt{(x+3)^2}$.
Согласно свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x+3|$.
График функции $y = |x+3|$ — это график функции $y=|x|$, смещенный на 3 единицы влево по оси абсцисс. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(-3, 0)$.
Он состоит из двух лучей:
1. $y = x+3$ для $x \ge -3$.
2. $y = -(x+3) = -x-3$ для $x < -3$.
Ответ: График функции — это два луча, выходящие из точки $(-3, 0)$ и образующие график модуля $y = |x+3|$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$.
Выражение под знаком корня $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$.
Тогда функцию можно записать как: $y = \sqrt{(2x-1)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |2x-1|$.
График этой функции — V-образная кривая (график модуля). Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $2x-1=0 \implies x = 1/2$. Координаты вершины: $(1/2, 0)$.
График состоит из двух лучей:
1. $y = 2x-1$ для $x \ge 1/2$.
2. $y = -(2x-1) = -2x+1$ для $x < 1/2$.
Ответ: График функции — это два луча, выходящие из точки $(1/2, 0)$ и образующие график модуля $y = |2x-1|$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x^2 + x + 6}$.
Поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, область определения функции задается неравенством: $-x^2 + x + 6 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Парабола $f(x)=-x^2+x+6$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями. Область определения: $x \in [-2, 3]$.
Так как $y$ равен арифметическому квадратному корню, $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = -x^2 + x + 6$.
Перегруппируем слагаемые: $x^2 - x + y^2 = 6$.
Выделим полный квадрат для $x$: $(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + y^2 = 6$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = 6 + \frac{1}{4} \implies (x - 0.5)^2 + y^2 = (\frac{5}{2})^2$.
Это уравнение окружности с центром в точке $(0.5, 0)$ и радиусом $R = 2.5$.
Учитывая условие $y \ge 0$, график функции является верхней полуокружностью.
Ответ: График функции — это верхняя полуокружность с центром в точке $(0.5, 0)$ и радиусом $2.5$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}$.
Область определения функции: $-x^2 + 2x + 8 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $-x^2 + 2x + 8 = 0$, или $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Парабола $f(x)=-x^2+2x+8$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она неотрицательна на отрезке между корнями. Область определения: $x \in [-2, 4]$.
При условии $y \ge 0$, возведем обе части в квадрат: $y^2 = -x^2 + 2x + 8$.
Перенесем члены с $x$ влево: $x^2 - 2x + y^2 = 8$.
Выделим полный квадрат: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 8$.
$(x - 1)^2 + y^2 = 9 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 3^2$.
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R=3$.
С учетом условия $y \ge 0$, график функции является верхней полуокружностью.
Ответ: График функции — это верхняя полуокружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $3$.