Номер 4.20, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.20, страница 98.

Условие.

4.20 Вычислите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x, x_0 = 0;$

б) $f(x) = -5x^3 + 7x^2 + x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = -x^3 + 4x + 5, x_0 = -1;$

г) $f(x) = 4x^3 + x^2 - 3x + 3, x_0 = -2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x$ и точка $x_0 = 0$.

Для того чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо сначала найти общую формулу производной, а затем подставить в нее значение точки.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Производная суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

$f'(x) = (4x^3 - 3x^2 - 2x)' = (4x^3)' - (3x^2)' - (2x)' = 4 \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^2)' - 2 \cdot (x)'$

$f'(x) = 4 \cdot 3x^{2} - 3 \cdot 2x^{1} - 2 \cdot 1 = 12x^2 - 6x - 2$

2. Теперь вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 12(0)^2 - 6(0) - 2 = 12 \cdot 0 - 0 - 2 = -2$

Ответ: -2.

б) Дана функция $f(x) = -5x^3 + 7x^2 + x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-5x^3 + 7x^2 + x)' = (-5x^3)' + (7x^2)' + (x)' = -5 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 2x + 1 = -15x^2 + 14x + 1$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -15(1)^2 + 14(1) + 1 = -15 \cdot 1 + 14 + 1 = -15 + 15 = 0$

Ответ: 0.

в) Дана функция $f(x) = -x^3 + 4x + 5$ и точка $x_0 = -1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Учтем, что производная константы равна нулю ($(c)'=0$):

$f'(x) = (-x^3 + 4x + 5)' = (-x^3)' + (4x)' + (5)' = -3x^2 + 4 + 0 = -3x^2 + 4$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3(1) + 4 = -3 + 4 = 1$

Ответ: 1.

г) Дана функция $f(x) = 4x^3 + x^2 - 3x + 3$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 3x + 3)' = (4x^3)' + (x^2)' - (3x)' + (3)' = 4 \cdot 3x^2 + 2x - 3 + 0 = 12x^2 + 2x - 3$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 12(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 12(4) - 4 - 3 = 48 - 4 - 3 = 41$

Ответ: 41.