Номер 4.13, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.13, страница 96.

Условие.

4.13 На рисунке 96 изображён график непрерывной функции $y=f(x)$, $x \in (-6; 7)$. Определите знак тангенса угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой:

а) -4;

б) -3;

в) 0;

г) 1;

д) 3;

е) 6.

Рис. 96

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$. Знак этого тангенса можно определить по поведению графика функции:

• Если функция возрастает в точке $x_0$ (график идет вверх), то производная $f'(x_0)$ положительна, и тангенс угла наклона имеет знак "плюс".
• Если функция убывает в точке $x_0$ (график идет вниз), то производная $f'(x_0)$ отрицательна, и тангенс угла наклона имеет знак "минус".
• Если $x_0$ является точкой экстремума (максимума или минимума), то касательная в этой точке горизонтальна, и ее тангенс угла наклона равен нулю, соответственно $f'(x_0) = 0$.

Проанализируем каждую точку с заданной абсциссой:

а) -4

В точке с абсциссой $x = -4$ функция $y=f(x)$ возрастает (график на этом участке поднимается слева направо). Следовательно, производная в этой точке положительна, а значит и тангенс угла наклона касательной положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).

б) -3

В точке с абсциссой $x = -3$ функция $y=f(x)$ также возрастает. Поэтому тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).

в) 0

В точке с абсциссой $x = 0$ функция $y=f(x)$ убывает (график на этом участке опускается слева направо). Следовательно, производная в этой точке отрицательна, и тангенс угла наклона касательной отрицателен.

Ответ: знак "минус" (-).

г) 1

В точке с абсциссой $x = 1$ функция $y=f(x)$ продолжает убывать. Это значит, что тангенс угла наклона касательной в этой точке отрицателен.

Ответ: знак "минус" (-).

д) 3

В точке с абсциссой $x = 3$ на графике видна точка локального минимума. В точках экстремума касательная к графику параллельна оси абсцисс, ее угол наклона равен $0^\circ$. Тангенс такого угла равен нулю ($\text{tg}(0^\circ) = 0$).

Ответ: равен нулю (0).

е) 6

В точке с абсциссой $x = 6$ функция $y=f(x)$ возрастает. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этой точке положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).