Номер 4.11, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.11, страница 95.

4.11 Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 11$.

а) Найдите производную функции.

б) Вычислите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой: $x = -1; x = 0; x = 2$.

в) При каком значении $x$ тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ равен: $0; 1; 3$?

Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 11$.

а) Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилами дифференцирования. Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производная произведения константы на функцию $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, производная константы $(c)'=0$.

Применим эти правила к данной функции:

$f'(x) = (x^2 - 6x + 11)' = (x^2)' - (6x)' + (11)' = 2x - 6 \cdot 1 + 0 = 2x - 6$.

Ответ: $f'(x) = 2x - 6$.

б) Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = f'(x_0)$. Мы нашли производную в пункте а): $f'(x) = 2x - 6$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках:

При $x = -1$ тангенс угла наклона равен: $f'(-1) = 2(-1) - 6 = -2 - 6 = -8$.

При $x = 0$ тангенс угла наклона равен: $f'(0) = 2(0) - 6 = 0 - 6 = -6$.

При $x = 2$ тангенс угла наклона равен: $f'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: при $x=-1$ тангенс равен $-8$; при $x=0$ тангенс равен $-6$; при $x=2$ тангенс равен $-2$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых тангенс угла наклона касательной равен заданным числам, нужно приравнять производную $f'(x) = 2x - 6$ к этим числам и решить полученные уравнения.

Если тангенс равен 0:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

Если тангенс равен 1:

$2x - 6 = 1$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Если тангенс равен 3:

$2x - 6 = 3$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: тангенс равен 0 при $x=3$; тангенс равен 1 при $x=3.5$; тангенс равен 3 при $x=4.5$.