Страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.4 Дана функция $f(x) = x^2$. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Найдите:

а) приращение аргумента $\Delta x$;

б) приращение функции $\Delta f = f(x_2) - f(x_1)$;

в) тангенс угла наклона секущей $\operatorname{tg} \beta = \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Дана функция $f(x) = x^2$ и две точки на ее графике с абсциссами $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

а) приращение аргумента Δx;
Приращение аргумента $\Delta x$ — это разность между конечным и начальным значениями аргумента. Формула для вычисления: $\Delta x = x_2 - x_1$.
Подставляем заданные значения: $\Delta x = 2 - 0 = 2$.
Ответ: 2.

б) приращение функции Δf = f(x₂) - f(x₁);
Приращение функции $\Delta f$ — это разность между значениями функции в конечной и начальной точках. Сначала вычислим значения функции $f(x) = x^2$ для заданных абсцисс: $f(x_1) = f(0) = 0^2 = 0$.
$f(x_2) = f(2) = 2^2 = 4$.
Теперь найдем приращение функции по формуле $\Delta f = f(x_2) - f(x_1)$: $\Delta f = 4 - 0 = 4$.
Ответ: 4.

в) тангенс угла наклона секущей tg β = Δf / Δx.
Тангенс угла наклона секущей (или угловой коэффициент секущей) — это отношение приращения функции к приращению аргумента. Он показывает "скорость" изменения функции на данном отрезке. Используем значения, найденные в пунктах а) и б): $\Delta x = 2$ и $\Delta f = 4$.
$\text{tg } \beta = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2.

4.5 Дана функция $f(x) = x^2$. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами $x$ и $x + \Delta x$. Найдите:

а) приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$;

б) тангенс угла наклона секущей;

в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$;

г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: $x = 0; x = 1; x = -1; x = 2; x = -2$.

а) приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$;
Дана функция $f(x) = x^2$. По определению, приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x + \Delta x$ и $x$.
Сначала найдем значение функции в точке $x + \Delta x$: $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.
Теперь вычтем из полученного выражения значение функции в точке $x$, то есть $f(x) = x^2$: $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - x^2$.
После упрощения получаем: $\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

Ответ: $\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

б) тангенс угла наклона секущей;
Секущая — это прямая, которая проходит через две точки графика функции, в нашем случае через точки с координатами $(x, f(x))$ и $(x + \Delta x, f(x + \Delta x))$.
Тангенс угла наклона секущей (что то же самое, что и её угловой коэффициент) вычисляется как отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$: $\tan \alpha_{сек} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$.
Используя результат, полученный в пункте а), подставим выражение для $\Delta f$: $\tan \alpha_{сек} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь (при условии, что $\Delta x \neq 0$): $\tan \alpha_{сек} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.

Ответ: $2x + \Delta x$.

в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$;
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x$ является предельным положением секущей, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. Соответственно, тангенс угла наклона касательной равен пределу тангенса угла наклона секущей при $\Delta x \to 0$. Это значение по определению является производной функции $f'(x)$.
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.
Возьмем выражение для тангенса угла наклона секущей из пункта б) и найдем его предел: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)$.
Когда $\Delta x$ стремится к нулю, значение выражения стремится к $2x$.
Таким образом, тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$ равен $2x$.

Ответ: $2x$.

г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: $x = 0; x = 1; x = -1; x = 2; x = -2$.
Для нахождения тангенса угла наклона касательной в конкретных точках используем формулу, выведенную в пункте в): $\tan \alpha_{кас} = f'(x) = 2x$. Подставим в нее заданные значения абсциссы $x$:
- при $x = 0$: тангенс равен $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$;
- при $x = 1$: тангенс равен $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$;
- при $x = -1$: тангенс равен $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$;
- при $x = 2$: тангенс равен $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$;
- при $x = -2$: тангенс равен $f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

Ответ: для $x=0$ тангенс равен $0$; для $x=1$ тангенс равен $2$; для $x=-1$ тангенс равен $-2$; для $x=2$ тангенс равен $4$; для $x=-2$ тангенс равен $-4$.

4.6°

a) Что называют приращением аргумента; приращением функции; производной функции?

б) Как вычисляют производную функции в точке $x$?

a)

Приращением аргумента называют разность между новым ("возмущенным") значением аргумента $x$ и его первоначальным значением $x_0$. Приращение аргумента обозначается символом $Δx$ (читается "дельта икс"). Таким образом, формула для приращения аргумента: $Δx = x - x_0$. Отсюда новое значение аргумента можно выразить через начальное и приращение: $x = x_0 + Δx$.

Приращением функции $y=f(x)$ называют разность между значением функции, соответствующим новому значению аргумента $f(x_0 + Δx)$, и первоначальным значением функции $f(x_0)$. Приращение функции обозначается символом $Δy$ (читается "дельта игрек") или $Δf(x_0)$. Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $Δy$ к вызвавшему его приращению аргумента $Δx$, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производная обозначается как $f'(x_0)$ или $y'(x_0)$. Определение производной в виде формулы: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Если этот предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке $x_0$.

Ответ: Приращение аргумента $Δx$ – это разница между конечным и начальным значением аргумента. Приращение функции $Δy$ – это соответствующее изменение значения функции. Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

б)

Чтобы вычислить производную функции $y = f(x)$ в произвольной точке $x$ из ее области определения, необходимо следовать общему правилу (алгоритму), основанному на определении производной:
1. Найти значение функции, соответствующее аргументу $x+\Delta x$, то есть $f(x + \Delta x)$.
2. Найти приращение функции: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.
3. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
4. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.
Полученный в результате предел и является производной функции $f(x)$ в точке $x$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
В практических задачах для нахождения производных чаще всего используют готовые формулы производных для элементарных функций и правила дифференцирования (например, производной суммы, произведения, частного и сложной функции).

Ответ: Производную функции в точке $x$ вычисляют, находя предел отношения приращения функции $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при условии, что $\Delta x \to 0$.

4.7 Дана функция $f(x) = x^2$.

а) Найдите производную в любой точке $x \in \mathbb{R}$.

б) Вычислите значение производной в точке $x = 0$; $x = 1$; $x = -1$; $x = 2$; $x = -2$; $x = 3$; $x = -3$.

в) При каком значении $x$ производная равна: 0; 1; 3?

а) Найдите производную в любой точке $x \in R$.

Для нахождения производной степенной функции $f(x) = x^n$ используется общая формула $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае нам дана функция $f(x) = x^2$, где показатель степени $n=2$.

Применяя формулу, находим производную:

$f'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Эта производная определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $f'(x) = 2x$.

б) Вычислите значение производной в точке $x=0; x=1; x=-1; x=2; x=-2; x=3; x=-3$.

Используя найденную производную $f'(x) = 2x$, подставим в нее указанные значения $x$:

• При $x = 0$: $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
• При $x = 1$: $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
• При $x = -1$: $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.
• При $x = 2$: $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
• При $x = -2$: $f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
• При $x = 3$: $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.
• При $x = -3$: $f'(-3) = 2 \cdot (-3) = -6$.

Ответ: $f'(0)=0$; $f'(1)=2$; $f'(-1)=-2$; $f'(2)=4$; $f'(-2)=-4$; $f'(3)=6$; $f'(-3)=-6$.

в) При каком значении $x$ производная равна: $0; 1; 3$?

Чтобы найти значения $x$, при которых производная $f'(x) = 2x$ принимает заданные значения, решим соответствующие уравнения:

• Производная равна 0:
  $f'(x) = 0$
  $2x = 0$
  $x = 0$
• Производная равна 1:
  $f'(x) = 1$
  $2x = 1$
  $x = \frac{1}{2}$
• Производная равна 3:
  $f'(x) = 3$
  $2x = 3$
  $x = \frac{3}{2}$

Ответ: производная равна 0 при $x=0$; производная равна 1 при $x=\frac{1}{2}$; производная равна 3 при $x=\frac{3}{2}$.

4.8 Выполните задание 4.7 для функции:

а) $f(x) = 3x + 8;$

б) $f(x) = 8x - 11;$

в) $f(x) = kx + b;$

г) $f(x) = x^2 - x + 5;$

д) $f(x) = x^2 + 3x - 1;$

е) $f(x) = ax^2 + bx + c.$

Поскольку содержание задания 4.7 не предоставлено, будем считать, что оно заключается в нахождении производной для каждой функции, используя определение производной.

Производная функции $f(x)$ по определению вычисляется по формуле:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Применим эту формулу для каждой из данных функций.

а) $f(x) = 3x + 8$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) + 8 = 3x + 3\Delta x + 8$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(3x + 3\Delta x + 8) - (3x + 8) = 3x + 3\Delta x + 8 - 3x - 8 = 3\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 = 3$

Ответ: $f'(x) = 3$.

б) $f(x) = 8x - 11$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = 8(x + \Delta x) - 11 = 8x + 8\Delta x - 11$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(8x + 8\Delta x - 11) - (8x - 11) = 8x + 8\Delta x - 11 - 8x + 11 = 8\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{8\Delta x}{\Delta x} = 8$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 8 = 8$

Ответ: $f'(x) = 8$.

в) $f(x) = kx + b$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + b = kx + k\Delta x + b$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(kx + k\Delta x + b) - (kx + b) = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$

Ответ: $f'(x) = k$.

г) $f(x) = x^2 - x + 5$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 - (x + \Delta x) + 5 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x - \Delta x + 5$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x - \Delta x + 5) - (x^2 - x + 5) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 1$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x - 1) = 2x - 1$

Ответ: $f'(x) = 2x - 1$.

д) $f(x) = x^2 + 3x - 1$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 1 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 1$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 1) - (x^2 + 3x - 1) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

е) $f(x) = ax^2 + bx + c$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2 + b(x + \Delta x) + c = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + b(x + \Delta x) + c = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + bx + b\Delta x + c$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + bx + b\Delta x + c) - (ax^2 + bx + c) = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + b\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + b\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x + b)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x + b$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x + b) = 2ax + b$

Ответ: $f'(x) = 2ax + b$.

4.9°

a) В чём заключается механический смысл производной?

б) В чём заключается геометрический смысл производной?

а) Механический (или физический) смысл производной заключается в том, что она описывает скорость изменения некоторого процесса. Чаще всего это рассматривается на примере движения тела.

Пусть материальная точка движется прямолинейно, и ее путь (или координата) в момент времени $t$ описывается функцией $s(t)$. Средняя скорость движения за промежуток времени $\Delta t$ вычисляется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.

Мгновенная скорость $v(t)$ в конкретный момент времени $t$ определяется как предел, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю. Этот предел, по определению, и является производной функции $s(t)$ по времени $t$.

Таким образом, мгновенная скорость тела в любой момент времени равна производной от функции пути по времени:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = s'(t)$

Аналогично, производная от функции скорости $v(t)$ по времени $t$ представляет собой мгновенное ускорение $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = s''(t)$

В общем случае, если функция $y=f(x)$ описывает какой-либо физический процесс, то ее производная $f'(x)$ характеризует скорость протекания этого процесса.

Ответ: Механический смысл производной состоит в том, что производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ есть скорость изменения (скорость протекания процесса) функции $y$ в этой точке. В частности, производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.

б) Геометрический смысл производной заключается в том, что с ее помощью можно определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$. Выберем на нем точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и другую точку $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Угловой коэффициент $k_{сек}$ этой секущей равен отношению приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$:

$k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Касательная к графику функции в точке $M_0$ является предельным положением секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой (то есть при $\Delta x \to 0$). Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ равен пределу углового коэффициента секущей:

$k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Таким образом, значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

$f'(x_0) = k_{кас}$

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то $f'(x_0) = \tan \alpha$.

Ответ: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (то есть тангенсу угла наклона) касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$.

4.10 Точка движется прямолинейно по закону $s = t^2 - 4t$.

а) Выразите скорость точки как функцию времени.

б) Вычислите скорость точки в момент времени $t = 5$.

в) В какой момент времени скорость была равна нулю?

а) Скорость точки $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Закон движения точки задан функцией $s(t) = t^2 - 4t$. Найдем производную этой функции, чтобы получить функцию скорости:
$v(t) = s'(t) = (t^2 - 4t)' = (t^2)' - (4t)' = 2t - 4$.
Ответ: $v(t) = 2t - 4$.

б) Чтобы вычислить скорость точки в момент времени $t = 5$, подставим это значение в полученную в пункте а) функцию скорости $v(t) = 2t - 4$:
$v(5) = 2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$.
Ответ: $6$.

в) Чтобы найти момент времени, в который скорость была равна нулю, необходимо приравнять функцию скорости к нулю и решить полученное уравнение относительно $t$:
$v(t) = 0$
$2t - 4 = 0$
$2t = 4$
$t = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $t = 2$.

4.11 Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 11$.

а) Найдите производную функции.

б) Вычислите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой: $x = -1; x = 0; x = 2$.

в) При каком значении $x$ тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ равен: $0; 1; 3$?

Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 11$.

а) Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилами дифференцирования. Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производная произведения константы на функцию $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, производная константы $(c)'=0$.

Применим эти правила к данной функции:

$f'(x) = (x^2 - 6x + 11)' = (x^2)' - (6x)' + (11)' = 2x - 6 \cdot 1 + 0 = 2x - 6$.

Ответ: $f'(x) = 2x - 6$.

б) Тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $\tan(\alpha) = f'(x_0)$. Мы нашли производную в пункте а): $f'(x) = 2x - 6$.

Теперь вычислим значения производной в заданных точках:

При $x = -1$ тангенс угла наклона равен: $f'(-1) = 2(-1) - 6 = -2 - 6 = -8$.

При $x = 0$ тангенс угла наклона равен: $f'(0) = 2(0) - 6 = 0 - 6 = -6$.

При $x = 2$ тангенс угла наклона равен: $f'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: при $x=-1$ тангенс равен $-8$; при $x=0$ тангенс равен $-6$; при $x=2$ тангенс равен $-2$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых тангенс угла наклона касательной равен заданным числам, нужно приравнять производную $f'(x) = 2x - 6$ к этим числам и решить полученные уравнения.

Если тангенс равен 0:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

Если тангенс равен 1:

$2x - 6 = 1$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Если тангенс равен 3:

$2x - 6 = 3$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: тангенс равен 0 при $x=3$; тангенс равен 1 при $x=3.5$; тангенс равен 3 при $x=4.5$.

4.12 Найдите производную функции $y = x^3$.

Для нахождения производной функции $y = x^3$ используется основное правило дифференцирования степенной функции. Формула для производной степенной функции $y = x^n$ имеет вид:

$y' = (x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

В нашем случае дана функция $y = x^3$. Сравнивая ее с общей формой степенной функции, мы видим, что показатель степени $n = 3$.

Теперь подставим значение $n=3$ в формулу для нахождения производной:

$y' = (x^3)' = 3 \cdot x^{3-1}$

Выполним вычитание в показателе степени:

$y' = 3 \cdot x^2$

Таким образом, производная функции $y = x^3$ равна $3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2$