Номер 4.5, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.5, страница 95.

Условие.

4.5 Дана функция $f(x) = x^2$. Проведите секущую через точки графика этой функции с абсциссами $x$ и $x + \Delta x$. Найдите:

а) приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$;

б) тангенс угла наклона секущей;

в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$;

г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: $x = 0; x = 1; x = -1; x = 2; x = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$;
Дана функция $f(x) = x^2$. По определению, приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x + \Delta x$ и $x$.
Сначала найдем значение функции в точке $x + \Delta x$: $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.
Теперь вычтем из полученного выражения значение функции в точке $x$, то есть $f(x) = x^2$: $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - x^2$.
После упрощения получаем: $\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

Ответ: $\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.

б) тангенс угла наклона секущей;
Секущая — это прямая, которая проходит через две точки графика функции, в нашем случае через точки с координатами $(x, f(x))$ и $(x + \Delta x, f(x + \Delta x))$.
Тангенс угла наклона секущей (что то же самое, что и её угловой коэффициент) вычисляется как отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$: $\tan \alpha_{сек} = \frac{\Delta f}{\Delta x}$.
Используя результат, полученный в пункте а), подставим выражение для $\Delta f$: $\tan \alpha_{сек} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь (при условии, что $\Delta x \neq 0$): $\tan \alpha_{сек} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x$.

Ответ: $2x + \Delta x$.

в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$;
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x$ является предельным положением секущей, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. Соответственно, тангенс угла наклона касательной равен пределу тангенса угла наклона секущей при $\Delta x \to 0$. Это значение по определению является производной функции $f'(x)$.
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.
Возьмем выражение для тангенса угла наклона секущей из пункта б) и найдем его предел: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)$.
Когда $\Delta x$ стремится к нулю, значение выражения стремится к $2x$.
Таким образом, тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $x$ равен $2x$.

Ответ: $2x$.

г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: $x = 0; x = 1; x = -1; x = 2; x = -2$.
Для нахождения тангенса угла наклона касательной в конкретных точках используем формулу, выведенную в пункте в): $\tan \alpha_{кас} = f'(x) = 2x$. Подставим в нее заданные значения абсциссы $x$:
- при $x = 0$: тангенс равен $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$;
- при $x = 1$: тангенс равен $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$;
- при $x = -1$: тангенс равен $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$;
- при $x = 2$: тангенс равен $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$;
- при $x = -2$: тангенс равен $f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

Ответ: для $x=0$ тангенс равен $0$; для $x=1$ тангенс равен $2$; для $x=-1$ тангенс равен $-2$; для $x=2$ тангенс равен $4$; для $x=-2$ тангенс равен $-4$.