Номер 3.20, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.20, страница 88.

Условие.

Постройте график функции (3.20—3.21):

3.20* а) $y = \cos (\arccos x)$

б) $y = \sin (\arccos x)$

в) $y = \operatorname{tg} (\arccos x)$

г) $y = \operatorname{ctg} (\arccos x)$

д) $y = \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} x)$

е) $y = \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} x)$

ж) $y = \sin (\operatorname{arctg} x)$

з) $y = \cos (\operatorname{arctg} x)$

и) $y = \operatorname{ctg} (\operatorname{arcctg} x)$

к) $y = \operatorname{tg} (\operatorname{arcctg} x)$

л) $y = \sin (\operatorname{arcctg} x)$

м) $y = \cos (\operatorname{arcctg} x)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \cos(\arccos x)$
Область определения функции арккосинуса $D(\arccos x) = [-1, 1]$, следовательно, это и есть область определения для $y$. По определению обратной функции, $\cos(\arccos x) = x$ для всех $x \in [-1, 1]$. Таким образом, график функции $y = \cos(\arccos x)$ совпадает с графиком функции $y=x$ на отрезке $[-1, 1]$.
Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \sin(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$. На этом промежутке $\sin \alpha \ge 0$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - x^2}$. Таким образом, $y = \sqrt{1 - x^2}$. Графиком этой функции является верхняя полуокружность окружности $x^2 + y^2 = 1$ с центром в начале координат и радиусом 1.
Ответ: График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 1, заданная уравнением $y = \sqrt{1-x^2}$.

в) $y = \tg(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Однако, тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$, мы должны исключить точку, где $\arccos x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Из предыдущих пунктов мы знаем, что $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ и $\cos(\arccos x) = x$. Следовательно, $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Ответ: График функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ на области определения $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

г) $y = \ctg(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Котангенс не определен, когда его аргумент равен $\pi k$. Из области значений арккосинуса $[0, \pi]$ мы должны исключить точки, где $\arccos x = 0$ (т.е. $x=1$) и $\arccos x = \pi$ (т.е. $x=-1$). Итак, $D(y) = (-1, 1)$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. График функции проходит через начало координат и имеет вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$.
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $x \in (-1, 1)$.

д) $y = \tg(\operatorname{arctg} x)$
Область определения арктангенса $D(\operatorname{arctg} x) = (-\infty, +\infty)$, что является и областью определения для $y$. По определению обратной функции, $\tg(\operatorname{arctg} x) = x$ для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x$.

е) $y = \ctg(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Котангенс не определен, когда его аргумент равен $\pi k$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому мы должны исключить точку, где $\operatorname{arctg} x = 0$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Используя тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$, получаем $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: График функции — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $x=0$.

ж) $y = \sin(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$, тогда $\tg \alpha = x$. Из тождества $1+\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ следует, что $1+\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, откуда $\sin^2\alpha = \frac{x^2}{1+x^2}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ знаки $\sin\alpha$ и $\tg\alpha$ совпадают. Поэтому $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. График функции представляет собой S-образную кривую, проходящую через начало координат и имеющую горизонтальные асимптоты $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

з) $y = \cos(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на которой $\cos\alpha > 0$. Из тождества $1+\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ получаем $1+x^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. График функции — симметричная относительно оси OY "колоколообразная" кривая с максимумом в точке $(0, 1)$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

и) $y = \ctg(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения арккотангенса $D(\operatorname{arcctg} x) = (-\infty, +\infty)$, что является и областью определения для $y$. По определению обратной функции, $\ctg(\operatorname{arcctg} x) = x$ для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x$.

к) $y = \tg(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2}+\pi k$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$, поэтому мы должны исключить точку, где $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Используя тождество $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$, получаем $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: График функции — гипербола $y=\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $x=0$.

л) $y = \sin(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$, на которой $\sin\alpha > 0$. Из тождества $1+\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ получаем $1+x^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. График этой функции совпадает с графиком из пункта з).
Ответ: График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

м) $y = \cos(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. Тогда $\ctg \alpha = x$. Из тождеств $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha = \frac{1}{1+x^2}$ (из пункта л) получаем $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$. Знаки $\cos\alpha$ и $\ctg\alpha (=x)$ на интервале $(0, \pi)$ совпадают для первой четверти и противоположны для второй. Точнее, если $x>0$, $\alpha \in (0, \pi/2)$, $\cos\alpha > 0$. Если $x<0$, $\alpha \in (\pi/2, \pi)$, $\cos\alpha < 0$. Таким образом, знак $\cos\alpha$ совпадает со знаком $x$. Следовательно, $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. График этой функции совпадает с графиком из пункта ж).
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.