Номер 4.2, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.2, страница 94.

Условие.

4.2 В задании 4.1 найдите:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

в) мгновенную скорость в момент времени $t$;

г) мгновенную скорость в момент времени $t = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи 4.2 необходимо знать закон движения, то есть функцию зависимости пути $s$ от времени $t$, которая должна быть дана в задании 4.1. Поскольку эта функция не предоставлена, предположим, что в задании 4.1 был дан следующий закон движения материальной точки: $s(t) = 2t^2 + t$.

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

Приращение пути $\Delta s$ определяется как разность между положением точки в момент времени $t + \Delta t$ и ее положением в момент времени $t$.

$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$

Сначала найдем значение функции $s(t)$ в момент времени $t + \Delta t$:

$s(t + \Delta t) = 2(t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t) = 2(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2) + t + \Delta t = 2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t$

Теперь вычтем из полученного выражения значение $s(t) = 2t^2 + t$:

$\Delta s = (2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t) - (2t^2 + t)$

$\Delta s = 2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t - 2t^2 - t$

$\Delta s = 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t$

Также можно вынести общий множитель $\Delta t$ за скобки:

$\Delta s = (4t + 2\Delta t + 1)\Delta t$

Ответ: $\Delta s = 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

Средняя скорость $v_{ср}$ на заданном промежутке времени вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$.

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Подставим выражение для $\Delta s$ из пункта а):

$v_{ср} = \frac{4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t}$

Сократим дробь на $\Delta t$:

$v_{ср} = 4t + 2\Delta t + 1$

Ответ: $v_{ср} = 4t + 2\Delta t + 1$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$;

Мгновенная скорость $v(t)$ – это предел, к которому стремится средняя скорость $v_{ср}$, когда приращение времени $\Delta t$ стремится к нулю. Мгновенная скорость является производной функции пути по времени $s'(t)$.

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Найдем предел выражения для средней скорости из пункта б):

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (4t + 2\Delta t + 1)$

Когда $\Delta t \to 0$, слагаемое $2\Delta t$ также стремится к нулю, поэтому:

$v(t) = 4t + 1$

Этот же результат можно получить, найдя производную от $s(t) = 2t^2 + t$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + t)' = 2 \cdot (t^2)' + (t)' = 2 \cdot 2t + 1 = 4t + 1$

Ответ: $v(t) = 4t + 1$.

г) мгновенную скорость в момент времени $t = 1$.

Чтобы найти мгновенную скорость в конкретный момент времени $t=1$, подставим это значение в формулу для $v(t)$, полученную в предыдущем пункте.

$v(1) = 4(1) + 1$

$v(1) = 4 + 1 = 5$

Единицы измерения (например, м/с) не указаны в условии, поэтому ответ дается в виде числа.

Ответ: 5.