Номер 4.9, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.9, страница 95.

Условие.

4.9°

a) В чём заключается механический смысл производной?

б) В чём заключается геометрический смысл производной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Механический (или физический) смысл производной заключается в том, что она описывает скорость изменения некоторого процесса. Чаще всего это рассматривается на примере движения тела.

Пусть материальная точка движется прямолинейно, и ее путь (или координата) в момент времени $t$ описывается функцией $s(t)$. Средняя скорость движения за промежуток времени $\Delta t$ вычисляется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.

Мгновенная скорость $v(t)$ в конкретный момент времени $t$ определяется как предел, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю. Этот предел, по определению, и является производной функции $s(t)$ по времени $t$.

Таким образом, мгновенная скорость тела в любой момент времени равна производной от функции пути по времени:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = s'(t)$

Аналогично, производная от функции скорости $v(t)$ по времени $t$ представляет собой мгновенное ускорение $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = s''(t)$

В общем случае, если функция $y=f(x)$ описывает какой-либо физический процесс, то ее производная $f'(x)$ характеризует скорость протекания этого процесса.

Ответ: Механический смысл производной состоит в том, что производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ есть скорость изменения (скорость протекания процесса) функции $y$ в этой точке. В частности, производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.

б) Геометрический смысл производной заключается в том, что с ее помощью можно определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в заданной точке.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$. Выберем на нем точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и другую точку $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Угловой коэффициент $k_{сек}$ этой секущей равен отношению приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$:

$k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Касательная к графику функции в точке $M_0$ является предельным положением секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой (то есть при $\Delta x \to 0$). Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ равен пределу углового коэффициента секущей:

$k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Таким образом, значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

$f'(x_0) = k_{кас}$

Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то $f'(x_0) = \tan \alpha$.

Ответ: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (то есть тангенсу угла наклона) касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$.