Номер 4.16, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.16, страница 98.

Условие.

4.16* Докажите теорему 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Формулировка Теоремы 3 (Теорема косинусов)

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Доказательство

Для доказательства воспользуемся методом векторов.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон следующим образом: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Угол при вершине $C$ равен $\gamma$.

Введем векторы, соответствующие сторонам треугольника, исходящие из вершины $C$: $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CA}$.

Тогда вектор $\vec{AB}$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу вычитания векторов: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длина стороны $c$ равна модулю (длине) вектора $\vec{AB}$: $c = |\vec{AB}|$. Возведем в квадрат длину стороны $c$: $c^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$.

Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $c^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность): $c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), получим: $c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

По определению скалярного произведения, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.

Также по определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CA}$ равен углу $\gamma$ треугольника. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos \gamma$.

Подставим эти выражения в формулу для $c^2$: $c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2$.

Переставив слагаемые, получаем искомую формулу: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Теорема доказана. Данное доказательство является общим и справедливым для любого треугольника, независимо от того, являются ли его углы острыми, прямыми или тупыми.

Ответ: Утверждение теоремы косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ доказано.