Номер 4.17, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.17, страница 98.

Условие.

4.17 Найдите производную функции в любой точке $x \in \mathbf{R}$:

а) $y = x^2 + x$;

б) $y = x^2 - x$;

в) $y = x^2 + 14$;

г) $y = x^2 - 15$;

д) $y = 5x^2$;

е) $y = -x^2$;

ж) $y = 5x^2 + 3x$;

з) $y = 3x^2 - 3x + 1$;

и) $y = ax^2 + bx + c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 + x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом для степенной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)'$.

Используем основные формулы дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(x)'=1$.

Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Производная второго слагаемого: $(x)' = 1$.

Складываем полученные производные: $y' = 2x + 1$.

Ответ: $y' = 2x + 1$

б) Для функции $y = x^2 - x$ применяем правило дифференцирования разности: $y' = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)'$.

Находим производные каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x$

$(x)' = 1$

Вычитаем производные: $y' = 2x - 1$.

Ответ: $y' = 2x - 1$

в) Для функции $y = x^2 + 14$ находим производную как сумму производных: $y' = (x^2 + 14)' = (x^2)' + (14)'$.

Производная степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Производная константы (постоянного числа) равна нулю: $(14)' = 0$.

Складываем результаты: $y' = 2x + 0 = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$

г) Для функции $y = x^2 - 15$ находим производную как разность производных: $y' = (x^2 - 15)' = (x^2)' - (15)'$.

Производная степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Производная константы равна нулю: $(15)' = 0$.

Получаем: $y' = 2x - 0 = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$

д) Для функции $y = 5x^2$ используем правило вынесения константы за знак производной: $y' = (5x^2)' = 5 \cdot (x^2)'$.

Находим производную степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Умножаем константу на производную: $y' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Ответ: $y' = 10x$

е) Функцию $y = -x^2$ можно представить как $y = -1 \cdot x^2$. Применяем правило вынесения константы:

$y' = (-x^2)' = -1 \cdot (x^2)'$.

Находим производную от $x^2$: $(x^2)' = 2x$.

Умножаем на константу: $y' = -1 \cdot 2x = -2x$.

Ответ: $y' = -2x$

ж) Для функции $y = 5x^2 + 3x$ используем правило дифференцирования суммы:

$y' = (5x^2 + 3x)' = (5x^2)' + (3x)'$.

Находим производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило вынесения константы и производную степенной функции:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

Складываем результаты: $y' = 10x + 3$.

Ответ: $y' = 10x + 3$

з) Для функции $y = 3x^2 - 3x + 1$ применяем правила дифференцирования суммы и разности:

$y' = (3x^2 - 3x + 1)' = (3x^2)' - (3x)' + (1)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

$(1)' = 0$ (производная константы)

Собираем все вместе: $y' = 6x - 3 + 0 = 6x - 3$.

Ответ: $y' = 6x - 3$

и) Для общей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — константы, находим производную, применяя те же правила:

$y' = (ax^2 + bx + c)' = (ax^2)' + (bx)' + (c)'$.

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(ax^2)' = a \cdot (x^2)' = a \cdot 2x = 2ax$

$(bx)' = b \cdot (x)' = b \cdot 1 = b$

$(c)' = 0$ (так как $c$ — константа)

Суммируем полученные производные: $y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b$.

Ответ: $y' = 2ax + b$