Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.15 Сформулируйте теорему о производной:

а) суммы двух функций;

б) функции $f(x) = Au(x)$, где $A$ — данное число.

а) суммы двух функций

Теорема о производной суммы двух функций (правило дифференцирования суммы) гласит: если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также дифференцируема в этой точке, и её производная равна сумме производных этих функций.

Формула производной суммы выглядит следующим образом:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Доказательство:

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Согласно определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и, используя свойство предела суммы (предел суммы равен сумме пределов), разделим выражение на два предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Поскольку по условию функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то первый предел равен $u'(x)$, а второй — $v'(x)$. Таким образом, мы получаем требуемую формулу:

$f'(x) = u'(x) + v'(x)$

Ответ: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

б) функции f(x) = Au(x), где A — данное число

Теорема о производной произведения функции на постоянный множитель утверждает, что если функция $u(x)$ дифференцируема в точке $x$, а $A$ — это постоянное число (константа), то функция $f(x) = A \cdot u(x)$ также дифференцируема в этой точке. При этом постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Формула для этого правила:

$(A \cdot u(x))' = A \cdot u'(x)$

Доказательство:

Пусть $f(x) = A \cdot u(x)$. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A \cdot u(x + \Delta x) - A \cdot u(x)}{\Delta x}$

Вынесем общий множитель $A$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A \cdot (u(x + \Delta x) - u(x))}{\Delta x}$

Так как $A$ является константой, мы можем вынести её за знак предела на основании свойств пределов:

$f'(x) = A \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$

Предел в правой части равенства по определению является производной функции $u(x)$. Следовательно:

$f'(x) = A \cdot u'(x)$

Ответ: $(A \cdot u(x))' = A \cdot u'(x)$.

4.16* Докажите теорему 3.

Формулировка Теоремы 3 (Теорема косинусов)

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Доказательство

Для доказательства воспользуемся методом векторов.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон следующим образом: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Угол при вершине $C$ равен $\gamma$.

Введем векторы, соответствующие сторонам треугольника, исходящие из вершины $C$: $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CA}$.

Тогда вектор $\vec{AB}$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу вычитания векторов: $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длина стороны $c$ равна модулю (длине) вектора $\vec{AB}$: $c = |\vec{AB}|$. Возведем в квадрат длину стороны $c$: $c^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$.

Квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $c^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность): $c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), получим: $c^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

По определению скалярного произведения, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2$ и $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2$.

Также по определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Угол между векторами $\vec{a} = \vec{CB}$ и $\vec{b} = \vec{CA}$ равен углу $\gamma$ треугольника. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\gamma) = ab \cos \gamma$.

Подставим эти выражения в формулу для $c^2$: $c^2 = a^2 - 2ab \cos \gamma + b^2$.

Переставив слагаемые, получаем искомую формулу: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Теорема доказана. Данное доказательство является общим и справедливым для любого треугольника, независимо от того, являются ли его углы острыми, прямыми или тупыми.

Ответ: Утверждение теоремы косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ доказано.

4.17 Найдите производную функции в любой точке $x \in \mathbf{R}$:

а) $y = x^2 + x$;

б) $y = x^2 - x$;

в) $y = x^2 + 14$;

г) $y = x^2 - 15$;

д) $y = 5x^2$;

е) $y = -x^2$;

ж) $y = 5x^2 + 3x$;

з) $y = 3x^2 - 3x + 1$;

и) $y = ax^2 + bx + c$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 + x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом для степенной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)'$.

Используем основные формулы дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(x)'=1$.

Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Производная второго слагаемого: $(x)' = 1$.

Складываем полученные производные: $y' = 2x + 1$.

Ответ: $y' = 2x + 1$

б) Для функции $y = x^2 - x$ применяем правило дифференцирования разности: $y' = (x^2 - x)' = (x^2)' - (x)'$.

Находим производные каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x$

$(x)' = 1$

Вычитаем производные: $y' = 2x - 1$.

Ответ: $y' = 2x - 1$

в) Для функции $y = x^2 + 14$ находим производную как сумму производных: $y' = (x^2 + 14)' = (x^2)' + (14)'$.

Производная степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Производная константы (постоянного числа) равна нулю: $(14)' = 0$.

Складываем результаты: $y' = 2x + 0 = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$

г) Для функции $y = x^2 - 15$ находим производную как разность производных: $y' = (x^2 - 15)' = (x^2)' - (15)'$.

Производная степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Производная константы равна нулю: $(15)' = 0$.

Получаем: $y' = 2x - 0 = 2x$.

Ответ: $y' = 2x$

д) Для функции $y = 5x^2$ используем правило вынесения константы за знак производной: $y' = (5x^2)' = 5 \cdot (x^2)'$.

Находим производную степенной функции: $(x^2)' = 2x$.

Умножаем константу на производную: $y' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Ответ: $y' = 10x$

е) Функцию $y = -x^2$ можно представить как $y = -1 \cdot x^2$. Применяем правило вынесения константы:

$y' = (-x^2)' = -1 \cdot (x^2)'$.

Находим производную от $x^2$: $(x^2)' = 2x$.

Умножаем на константу: $y' = -1 \cdot 2x = -2x$.

Ответ: $y' = -2x$

ж) Для функции $y = 5x^2 + 3x$ используем правило дифференцирования суммы:

$y' = (5x^2 + 3x)' = (5x^2)' + (3x)'$.

Находим производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило вынесения константы и производную степенной функции:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

Складываем результаты: $y' = 10x + 3$.

Ответ: $y' = 10x + 3$

з) Для функции $y = 3x^2 - 3x + 1$ применяем правила дифференцирования суммы и разности:

$y' = (3x^2 - 3x + 1)' = (3x^2)' - (3x)' + (1)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

$(1)' = 0$ (производная константы)

Собираем все вместе: $y' = 6x - 3 + 0 = 6x - 3$.

Ответ: $y' = 6x - 3$

и) Для общей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — константы, находим производную, применяя те же правила:

$y' = (ax^2 + bx + c)' = (ax^2)' + (bx)' + (c)'$.

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(ax^2)' = a \cdot (x^2)' = a \cdot 2x = 2ax$

$(bx)' = b \cdot (x)' = b \cdot 1 = b$

$(c)' = 0$ (так как $c$ — константа)

Суммируем полученные производные: $y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b$.

Ответ: $y' = 2ax + b$

Найдите производную функции в любой точке $x \in \mathbf{R}$, используя задание 4.12 (4.18–4.19):

4.18 а) $y = x^3 + x^2 + x;$

б) $y = x^3 - x^2 - x;$

в) $y = 5x^3;$

г) $y = -x^3;$

д) $y = 2x^3 - 3x^2 + x;$

е) $y = 3x^3 - 4x + 2;$

ж) $y = -x^3 + 5x^2 - 8x + 13;$

з) $y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$

а) Для функции $y = x^3 + x^2 + x$ находим производную. Используем правило дифференцирования суммы функций, согласно которому производная суммы равна сумме производных:
$y' = (x^3 + x^2 + x)' = (x^3)' + (x^2)' + (x)'$.
Теперь применяем правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$
$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$
$(x)' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$
Складывая результаты, получаем:
$y' = 3x^2 + 2x + 1$.
Ответ: $y' = 3x^2 + 2x + 1$.

б) Для функции $y = x^3 - x^2 - x$ находим производную. Используем правило дифференцирования разности функций:
$y' = (x^3 - x^2 - x)' = (x^3)' - (x^2)' - (x)'$.
Применяем правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^3)' = 3x^2$
$(x^2)' = 2x$
$(x)' = 1$
Собирая все вместе, получаем:
$y' = 3x^2 - 2x - 1$.
Ответ: $y' = 3x^2 - 2x - 1$.

в) Для функции $y = 5x^3$ находим производную. Используем правило вынесения константы за знак производной $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$:
$y' = (5x^3)' = 5 \cdot (x^3)'$.
Далее, находим производную степенной функции:
$(x^3)' = 3x^2$.
Перемножаем константу и производную:
$y' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.
Ответ: $y' = 15x^2$.

г) Для функции $y = -x^3$ находим производную. Это эквивалентно $y = -1 \cdot x^3$. Выносим константу $-1$ за знак производной:
$y' = (-x^3)' = -1 \cdot (x^3)'$.
Находим производную степенной функции:
$(x^3)' = 3x^2$.
Получаем:
$y' = -1 \cdot 3x^2 = -3x^2$.
Ответ: $y' = -3x^2$.

д) Для функции $y = 2x^3 - 3x^2 + x$ находим производную, используя правила дифференцирования суммы/разности и вынесения константы:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + x)' = (2x^3)' - (3x^2)' + (x)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
$(2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$
$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$
$(x)' = 1$
Собираем все вместе:
$y' = 6x^2 - 6x + 1$.
Ответ: $y' = 6x^2 - 6x + 1$.

е) Для функции $y = 3x^3 - 4x + 2$ находим производную. Производная константы равна нулю.
$y' = (3x^3 - 4x + 2)' = (3x^3)' - (4x)' + (2)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$
$(4x)' = 4 \cdot (x)' = 4 \cdot 1 = 4$
$(2)' = 0$
Собираем все вместе:
$y' = 9x^2 - 4 + 0 = 9x^2 - 4$.
Ответ: $y' = 9x^2 - 4$.

ж) Для функции $y = -x^3 + 5x^2 - 8x + 13$ находим производную, применяя все основные правила дифференцирования:
$y' = (-x^3 + 5x^2 - 8x + 13)' = (-x^3)' + (5x^2)' - (8x)' + (13)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(-x^3)' = -1 \cdot (x^3)' = -3x^2$
$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$
$(8x)' = 8 \cdot (x)' = 8 \cdot 1 = 8$
$(13)' = 0$
Собираем все вместе:
$y' = -3x^2 + 10x - 8 + 0 = -3x^2 + 10x - 8$.
Ответ: $y' = -3x^2 + 10x - 8$.

з) Для обобщенной функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где $a, b, c, d$ — константы, находим производную:
$y' = (ax^3 + bx^2 + cx + d)' = (ax^3)' + (bx^2)' + (cx)' + (d)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое, считая $a, b, c, d$ константами:
$(ax^3)' = a \cdot (x^3)' = a \cdot 3x^2 = 3ax^2$
$(bx^2)' = b \cdot (x^2)' = b \cdot 2x = 2bx$
$(cx)' = c \cdot (x)' = c \cdot 1 = c$
$(d)' = 0$ (производная константы)
Собираем все вместе:
$y' = 3ax^2 + 2bx + c + 0 = 3ax^2 + 2bx + c$.
Ответ: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.

4.19 a) $y = (x + 3)^2;$

В) $y = (3x + 1)^2;$

Д) $y = (x - 2)^3;$

б) $y = (x - 4)^2;$

Г) $y = (x + 1)^3;$

е) $y = (2x + 3)^3.$

Для решения данных задач необходимо найти производную сложной функции. Мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Если функция имеет вид $y = f(u(x))$, то её производная находится по формуле: $y' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

В данных примерах все функции являются степенными, то есть вида $y = (u(x))^n$. Производная такой функции вычисляется по формуле: $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$, где $u'(x)$ — это производная внутренней функции.

Дана функция $y = (x + 3)^2$.

Здесь внутренняя функция $u(x) = x + 3$, а внешняя — степенная функция $f(u) = u^2$.

1. Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x + 3)' = (x)' + (3)' = 1 + 0 = 1$.

2. Применяем формулу для производной степенной функции, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (x+3)^{2-1} \cdot (x+3)' = 2 \cdot (x+3)^1 \cdot 1 = 2(x+3)$.

Можно раскрыть скобки: $2(x+3) = 2x + 6$.

Ответ: $y' = 2(x+3)$.

Дана функция $y = (x - 4)^2$.

Внутренняя функция $u(x) = x - 4$, внешняя — $f(u) = u^2$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x - 4)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (x-4)^{2-1} \cdot (x-4)' = 2 \cdot (x-4)^1 \cdot 1 = 2(x-4)$.

Раскрывая скобки, получаем: $2x - 8$.

Ответ: $y' = 2(x-4)$.

Дана функция $y = (3x + 1)^2$.

Внутренняя функция $u(x) = 3x + 1$, внешняя — $f(u) = u^2$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x + 1)' = 3$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (3x+1)^{2-1} \cdot (3x+1)' = 2 \cdot (3x+1)^1 \cdot 3 = 6(3x+1)$.

Раскрывая скобки, получаем: $18x + 6$.

Ответ: $y' = 6(3x+1)$.

Дана функция $y = (x + 1)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = x + 1$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x + 1)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3 \cdot (x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3$.

Ответ: $y' = 3(x+1)^2$.

Дана функция $y = (x - 2)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = x - 2$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x - 2)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (x-2)^{3-1} \cdot (x-2)' = 3 \cdot (x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$.

Ответ: $y' = 3(x-2)^2$.

Дана функция $y = (2x + 3)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = 2x + 3$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (2x + 3)' = 2$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (2x+3)^{3-1} \cdot (2x+3)' = 3 \cdot (2x+3)^2 \cdot 2 = 6(2x+3)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $6(4x^2 + 12x + 9) = 24x^2 + 72x + 54$.

Ответ: $y' = 6(2x+3)^2$.

4.20 Вычислите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x, x_0 = 0;$

б) $f(x) = -5x^3 + 7x^2 + x, x_0 = 1;$

в) $f(x) = -x^3 + 4x + 5, x_0 = -1;$

г) $f(x) = 4x^3 + x^2 - 3x + 3, x_0 = -2.$

а) Дана функция $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 2x$ и точка $x_0 = 0$.

Для того чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо сначала найти общую формулу производной, а затем подставить в нее значение точки.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Производная суммы/разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$

$f'(x) = (4x^3 - 3x^2 - 2x)' = (4x^3)' - (3x^2)' - (2x)' = 4 \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^2)' - 2 \cdot (x)'$

$f'(x) = 4 \cdot 3x^{2} - 3 \cdot 2x^{1} - 2 \cdot 1 = 12x^2 - 6x - 2$

2. Теперь вычислим значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 12(0)^2 - 6(0) - 2 = 12 \cdot 0 - 0 - 2 = -2$

Ответ: -2.

б) Дана функция $f(x) = -5x^3 + 7x^2 + x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-5x^3 + 7x^2 + x)' = (-5x^3)' + (7x^2)' + (x)' = -5 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 2x + 1 = -15x^2 + 14x + 1$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -15(1)^2 + 14(1) + 1 = -15 \cdot 1 + 14 + 1 = -15 + 15 = 0$

Ответ: 0.

в) Дана функция $f(x) = -x^3 + 4x + 5$ и точка $x_0 = -1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Учтем, что производная константы равна нулю ($(c)'=0$):

$f'(x) = (-x^3 + 4x + 5)' = (-x^3)' + (4x)' + (5)' = -3x^2 + 4 + 0 = -3x^2 + 4$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3(1) + 4 = -3 + 4 = 1$

Ответ: 1.

г) Дана функция $f(x) = 4x^3 + x^2 - 3x + 3$ и точка $x_0 = -2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 3x + 3)' = (4x^3)' + (x^2)' - (3x)' + (3)' = 4 \cdot 3x^2 + 2x - 3 + 0 = 12x^2 + 2x - 3$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 12(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 12(4) - 4 - 3 = 48 - 4 - 3 = 41$

Ответ: 41.

4.21 Определите, при каких значениях $x$ производная функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5$;

б) $y = x^3 + 3x^2 - 17$;

в) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15$;

г) $y = x^3 + 5x^2 - 13x + 7$

равна нулю; положительна; отрицательна.

а) Для функции $y = x^2 + 6x + 5$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^2 + 6x + 5)' = 2x + 6$.
Теперь определим, при каких значениях $x$ производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$2x + 6 > 0$
$2x > -6$
$x > -3$
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$2x + 6 < 0$
$2x < -6$
$x < -3$
Ответ: производная равна нулю при $x = -3$; положительна при $x \in (-3, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty, -3)$.

б) Для функции $y = x^3 + 3x^2 - 17$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^3 + 3x^2 - 17)' = 3x^2 + 6x$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x + 2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$3x^2 + 6x > 0$. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Значения больше нуля будут вне интервала между корнями.
$x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$3x^2 + 6x < 0$. Значения меньше нуля будут внутри интервала между корнями.
$x \in (-2, 0)$.
Ответ: производная равна нулю при $x = -2$ и $x = 0$; положительна при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-2, 0)$.

в) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 9 = x^2 - 6x + 9$.
Заметим, что это полный квадрат: $y' = (x - 3)^2$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x = 3$
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$(x - 3)^2 > 0$. Квадрат любого числа, кроме нуля, является положительным. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 3$.
$x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$(x - 3)^2 < 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, решений нет.
Ответ: производная равна нулю при $x = 3$; положительна при $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$; отрицательных значений производная не принимает.

г) Для функции $y = x^3 + 5x^2 - 13x + 7$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^3 + 5x^2 - 13x + 7)' = 3x^2 + 10x - 13$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$3x^2 + 10x - 13 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256 = 16^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 16}{6}$.
$x_1 = \frac{-10 - 16}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
$x_2 = \frac{-10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$3x^2 + 10x - 13 > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
$x \in (-\infty, -\frac{13}{3}) \cup (1, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$3x^2 + 10x - 13 < 0$. Парабола отрицательна между корнями.
$x \in (-\frac{13}{3}, 1)$.
Ответ: производная равна нулю при $x = -\frac{13}{3}$ и $x = 1$; положительна при $x \in (-\infty, -\frac{13}{3}) \cup (1, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\frac{13}{3}, 1)$.

4.22* Найдите функцию $y = f(x)$, для которой:

а) $f'(x) = 6x;$

б) $f'(x) = x^2 - 1;$

в) $f'(x) = 3x^2 + 2x - 5;$

г) $f'(x) = 6x^2 - 4x + 7.$

Для нахождения функции $y = f(x)$ по её производной $f'(x)$ необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование. Таким образом, мы ищем первообразную для данной функции. Общий вид первообразной включает в себя произвольную постоянную $C$, так как производная от константы равна нулю.

Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

а)

Дана производная $f'(x) = 6x$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 6x \,dx = 6 \int x^1 \,dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$.

Ответ: $f(x) = 3x^2 + C$.

б)

Дана производная $f'(x) = x^2 - 1$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (x^2 - 1) \,dx = \int x^2 \,dx - \int 1 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - x + C = \frac{x^3}{3} - x + C$.

Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} - x + C$.

в)

Дана производная $f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$.

Находим функцию $f(x)$, используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов):

$f(x) = \int (3x^2 + 2x - 5) \,dx = \int 3x^2 \,dx + \int 2x \,dx - \int 5 \,dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = x^3 + x^2 - 5x + C$.

Ответ: $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + C$.

г)

Дана производная $f'(x) = 6x^2 - 4x + 7$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (6x^2 - 4x + 7) \,dx = \int 6x^2 \,dx - \int 4x \,dx + \int 7 \,dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 2x^3 - 2x^2 + 7x + C$.

Ответ: $f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 7x + C$.