Страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.28° Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.

Теорема о производной произведения (правило Лейбница)

Если функции $u = u(x)$ и $v = v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x)v(x)$ также дифференцируемо в этой точке, и его производная находится по формуле:

$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

Словесная формулировка: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй.

Доказательство

Пусть дана функция $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Прибавим и вычтем в числителе дроби слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$. Это не изменит значения выражения:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела суммы, разделим предел на два:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Далее, используя свойство предела произведения, получим:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Теперь проанализируем каждый из четырех пределов:

• $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ — это производная функции $u(x)$ по определению.
• $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$ — это производная функции $v(x)$ по определению.
• Поскольку функция $v(x)$ по условию теоремы дифференцируема в точке $x$, она также и непрерывна в этой точке. Следовательно, $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
• Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.

Подставим найденные значения пределов обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Теорема доказана.

Ответ: Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то производная их произведения вычисляется по формуле $(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

4.29 Из теоремы о производной произведения выведите правило вычисления производной функции $y = Cf(x)$, где $C$ — константа.

Для вывода правила воспользуемся теоремой о производной произведения двух функций. Теорема гласит, что если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то их произведение $u(x)v(x)$ также дифференцируемо, и его производная находится по формуле:

$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Рассмотрим функцию $y = C \cdot f(x)$, где $C$ — константа. Эту функцию можно представить как произведение двух функций:

$u(x) = C$

$v(x) = f(x)$

Найдем производные этих функций:

1. Производная константы $C$ равна нулю:

$u'(x) = (C)' = 0$

2. Производная функции $f(x)$ по определению равна $f'(x)$:

$v'(x) = (f(x))' = f'(x)$

Теперь подставим эти функции и их производные в формулу для производной произведения:

$y' = (C \cdot f(x))' = (C)' \cdot f(x) + C \cdot (f(x))'$

Подставляя найденные значения производных, получаем:

$y' = 0 \cdot f(x) + C \cdot f'(x)$

Упрощая выражение, имеем:

$y' = 0 + C \cdot f'(x) = C \cdot f'(x)$

Таким образом, мы вывели правило, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Ответ: Правило вычисления производной функции $y=Cf(x)$ имеет вид $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.

В любой точке $x \in R$ найдите производную функции (4.30–4.31):

4.30 а) $y = (x^2 + 3x)(x - 1);$

б) $y = (x^2 - 8x)(x - 2);$

в) $y = (5x^2 - 3x + 2)(3x + 2);$

г) $y = (5x^2 + 3x + 2)(3x - 2);$

д) $y = (-x^2 + 2)(3x^2 + 2x);$

е) $y = (4x^2 + 6x - 1)(x^2 - 3).$

Для нахождения производной функции $y = (x^2 + 3x)(x - 1)$ воспользуемся правилом производной произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 + 3x$ и $v(x) = x - 1$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$
$v'(x) = (x - 1)' = 1$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = (2x + 3)(x - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = (2x^2 - 2x + 3x - 3) + x^2 + 3x = 2x^2 + x - 3 + x^2 + 3x = 3x^2 + 4x - 3$.

Ответ: $3x^2 + 4x - 3$.

Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 8x)(x - 2)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x - 2$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$
$v'(x) = (x - 2)' = 1$
Подставим производные в формулу:
$y' = (2x - 8)(x - 2) + (x^2 - 8x) \cdot 1$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = (2x^2 - 4x - 8x + 16) + x^2 - 8x = 2x^2 - 12x + 16 + x^2 - 8x = 3x^2 - 20x + 16$.

Ответ: $3x^2 - 20x + 16$.

Дана функция $y = (5x^2 - 3x + 2)(3x + 2)$. Для нахождения ее производной используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Обозначим $u(x) = 5x^2 - 3x + 2$ и $v(x) = 3x + 2$.
Их производные равны:
$u'(x) = (5x^2 - 3x + 2)' = 10x - 3$
$v'(x) = (3x + 2)' = 3$
Подставляем в формулу:
$y' = (10x - 3)(3x + 2) + (5x^2 - 3x + 2) \cdot 3$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$y' = (30x^2 + 20x - 9x - 6) + (15x^2 - 9x + 6) = 30x^2 + 11x - 6 + 15x^2 - 9x + 6 = 45x^2 + 2x$.

Ответ: $45x^2 + 2x$.

Дана функция $y = (5x^2 + 3x + 2)(3x - 2)$. Найдем ее производную, используя правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 5x^2 + 3x + 2$ и $v(x) = 3x - 2$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (5x^2 + 3x + 2)' = 10x + 3$
$v'(x) = (3x - 2)' = 3$
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (10x + 3)(3x - 2) + (5x^2 + 3x + 2) \cdot 3$
Раскроем скобки и упростим:
$y' = (30x^2 - 20x + 9x - 6) + (15x^2 + 9x + 6) = 30x^2 - 11x - 6 + 15x^2 + 9x + 6 = 45x^2 - 2x$.

Ответ: $45x^2 - 2x$.

Для функции $y = (-x^2 + 2)(3x^2 + 2x)$ найдем производную по правилу произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = -x^2 + 2$ и $v(x) = 3x^2 + 2x$.
Производные этих функций:
$u'(x) = (-x^2 + 2)' = -2x$
$v'(x) = (3x^2 + 2x)' = 6x + 2$
Подставляем в формулу:
$y' = (-2x)(3x^2 + 2x) + (-x^2 + 2)(6x + 2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y' = (-6x^3 - 4x^2) + (-6x^3 - 2x^2 + 12x + 4) = -6x^3 - 4x^2 - 6x^3 - 2x^2 + 12x + 4 = -12x^3 - 6x^2 + 12x + 4$.

Ответ: $-12x^3 - 6x^2 + 12x + 4$.

Для нахождения производной функции $y = (4x^2 + 6x - 1)(x^2 - 3)$ применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 4x^2 + 6x - 1$ и $v(x) = x^2 - 3$.
Найдем производные:
$u'(x) = (4x^2 + 6x - 1)' = 8x + 6$
$v'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$
Подставим в формулу:
$y' = (8x + 6)(x^2 - 3) + (4x^2 + 6x - 1)(2x)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = (8x^3 - 24x + 6x^2 - 18) + (8x^3 + 12x^2 - 2x) = 8x^3 + 6x^2 - 24x - 18 + 8x^3 + 12x^2 - 2x = 16x^3 + 18x^2 - 26x - 18$.

Ответ: $16x^3 + 18x^2 - 26x - 18$.

4.31 а) $y = x^4$;

б) $y = x^5$;

в) $y = x^6$;

г) $y = x^7$.

Указание. Представьте данную функцию в виде произведения двух функций.

Например, $(x^4)'=(x^3 \cdot x)'=(x^3)' \cdot x + x^3 \cdot (x)'=3x^2 \cdot x + x^3 \cdot 1 = 4x^3$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

а) $y = x^4$

Представим функцию в виде произведения $y = x^3 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = x$.

Найдём производные этих функций: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (x)' = 1$.

Теперь применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^4)' = (x^3 \cdot x)' = (x^3)' \cdot x + x^3 \cdot (x)' = 3x^2 \cdot x + x^3 \cdot 1 = 3x^3 + x^3 = 4x^3$.

Ответ: $y' = 4x^3$.

б) $y = x^5$

Представим функцию в виде произведения $y = x^4 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^4$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^4)' = 4x^3$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^5)' = (x^4 \cdot x)' = (x^4)' \cdot x + x^4 \cdot (x)' = 4x^3 \cdot x + x^4 \cdot 1 = 4x^4 + x^4 = 5x^4$.

Ответ: $y' = 5x^4$.

в) $y = x^6$

Представим функцию в виде произведения $y = x^5 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^5)' = 5x^4$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^6)' = (x^5 \cdot x)' = (x^5)' \cdot x + x^5 \cdot (x)' = 5x^4 \cdot x + x^5 \cdot 1 = 5x^5 + x^5 = 6x^5$.

Ответ: $y' = 6x^5$.

г) $y = x^7$

Представим функцию в виде произведения $y = x^6 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^6$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^6)' = 6x^5$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^7)' = (x^6 \cdot x)' = (x^6)' \cdot x + x^6 \cdot (x)' = 6x^5 \cdot x + x^6 \cdot 1 = 6x^6 + x^6 = 7x^6$.

Ответ: $y' = 7x^6$.