Страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.41 a) $y = \frac{1}{x^{21}};$

б) $y = \frac{2}{x^{25}};$

В) $y = -\frac{5}{x^{20}}.$

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и свойство вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Для этого сначала представим каждую функцию в виде $y = c \cdot x^n$.

а)

Дана функция $y = \frac{1}{x^{21}}$.

Представим ее в виде степенной функции с отрицательным показателем:

$y = x^{-21}$

Теперь найдем ее производную по формуле для степенной функции, где $n = -21$:

$y' = (x^{-21})' = -21 \cdot x^{-21-1} = -21x^{-22}$

Запишем результат в виде дроби с положительным показателем степени в знаменателе:

$y' = -\frac{21}{x^{22}}$

Ответ: $y' = -\frac{21}{x^{22}}$

б)

Дана функция $y = \frac{2}{x^{25}}$.

Представим ее в виде $y = 2 \cdot x^{-25}$.

Применяем правило дифференцирования и находим производную. Здесь $c = 2$, $n = -25$:

$y' = (2x^{-25})' = 2 \cdot (x^{-25})' = 2 \cdot (-25 \cdot x^{-25-1}) = -50x^{-26}$

Переведем результат в дробный вид:

$y' = -\frac{50}{x^{26}}$

Ответ: $y' = -\frac{50}{x^{26}}$

в)

Дана функция $y = -\frac{5}{x^{20}}$.

Представим ее в виде $y = -5 \cdot x^{-20}$.

Находим производную. Здесь $c = -5$, $n = -20$:

$y' = (-5x^{-20})' = -5 \cdot (x^{-20})' = -5 \cdot (-20 \cdot x^{-20-1}) = 100x^{-21}$

Запишем ответ в виде дроби:

$y' = \frac{100}{x^{21}}$

Ответ: $y' = \frac{100}{x^{21}}$

4.42 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = a^x$;

б) $y = e^x$;

в) $y = \log_a x$;

г) $y = \ln x$.

При каких значениях $x$ справедлива каждая из формул?

а) Производная показательной функции $y=a^x$ является одной из основных формул дифференцирования. Она равна произведению самой функции на натуральный логарифм ее основания.
Формула производной: $(a^x)' = a^x \ln a$.
Показательная функция $y=a^x$ (при стандартных ограничениях на основание $a > 0, a \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных значений аргумента $x$. Таким образом, данная формула справедлива на всей числовой оси.
Ответ: Формула производной: $y' = a^x \ln a$. Формула справедлива для всех действительных $x$, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y=e^x$ — это частный случай показательной функции $y=a^x$, где в качестве основания $a$ выступает число Эйлера $e$.
Применяя общую формулу $(a^x)' = a^x \ln a$ для $a=e$, получаем: $(e^x)' = e^x \ln e$.
Поскольку натуральный логарифм числа $e$ равен единице ($\ln e = 1$), формула производной принимает очень простой вид: $(e^x)' = e^x$.
Как и в общем случае, функция $y=e^x$ определена и дифференцируема для всех действительных $x$.
Ответ: Формула производной: $y' = e^x$. Формула справедлива для всех действительных $x$, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Производная логарифмической функции $y = \log_a x$ также является стандартной табличной производной.
Формула производной: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
Логарифмическая функция $y=\log_a x$ (при стандартных ограничениях на основание $a > 0, a \neq 1$) определена только для положительных значений аргумента. На всей своей области определения она является дифференцируемой.
Следовательно, формула для ее производной справедлива при $x > 0$.
Ответ: Формула производной: $y' = \frac{1}{x \ln a}$. Формула справедлива при $x > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.

г) Функция $y=\ln x$ (натуральный логарифм) — это частный случай логарифмической функции $y = \log_a x$, где основание $a$ равно числу Эйлера $e$.
Используя общую формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ для $a=e$, получаем: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e}$.
Так как $\ln e = 1$, формула производной натурального логарифма упрощается до: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Область определения функции натурального логарифма — это все положительные действительные числа, и на этой области функция дифференцируема.
Ответ: Формула производной: $y' = \frac{1}{x}$. Формула справедлива при $x > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.

Укажите, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ имеет производную, и найдите эту производную, если (4.43–4.45):

4.43 a) $f(x) = 11^x;$

б) $f(x) = 10^x;$

в) $f(x) = 4^x + 8^x - 16^x;$

г) $f(x) = 3^x + 9^x - 27^x.$

а)

Функция $f(x) = 11^x$ является показательной функцией. Показательная функция вида $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных значений $x$. Следовательно, функция $f(x) = 11^x$ имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной воспользуемся формулой производной показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln(a)$.

В данном случае $a=11$, поэтому производная равна:

$f'(x) = (11^x)' = 11^x \ln(11)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 11^x \ln(11)$.

б)

Функция $f(x) = 10^x$ также является показательной. Она определена и дифференцируема для всех действительных значений $x$, то есть при $x \in \mathbb{R}$.

Применяем ту же формулу $(a^x)' = a^x \ln(a)$ при $a=10$:

$f'(x) = (10^x)' = 10^x \ln(10)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 10^x \ln(10)$.

в)

Функция $f(x) = 4^x + 8^x - 16^x$ представляет собой сумму и разность показательных функций. Каждая из функций $y_1=4^x$, $y_2=8^x$ и $y_3=16^x$ дифференцируема на всей числовой оси. Согласно правилу дифференцирования суммы и разности функций, функция $f(x)$ также дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы (разности) и формулу производной показательной функции для каждого слагаемого:

$f'(x) = (4^x + 8^x - 16^x)' = (4^x)' + (8^x)' - (16^x)' = 4^x \ln(4) + 8^x \ln(8) - 16^x \ln(16)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 4^x \ln(4) + 8^x \ln(8) - 16^x \ln(16)$.

г)

Функция $f(x) = 3^x + 9^x - 27^x$ является суммой и разностью показательных функций. Каждое слагаемое ($3^x$, $9^x$, $27^x$) является дифференцируемой функцией на множестве всех действительных чисел. Следовательно, и вся функция $f(x)$ дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной применим те же правила:

$f'(x) = (3^x + 9^x - 27^x)' = (3^x)' + (9^x)' - (27^x)' = 3^x \ln(3) + 9^x \ln(9) - 27^x \ln(27)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 3^x \ln(3) + 9^x \ln(9) - 27^x \ln(27)$.

4.44 а) $f(x) = \frac{4^x}{2^x}$;

б) $f(x) = \frac{3^x}{9^x}$;

В) $f(x) = \frac{2^x + 4^x}{2^x}$;

Г) $f(x) = \frac{3^x}{3^x + 9^x}$;

Д) $f(x) = \frac{2^x - 4^x}{2^x + 4^x}$;

е) $f(x) = \frac{3^x - 9^x}{3^x + 9^x}$;

Ж) $f(x) = \frac{\lg x}{\lg e}$;

З) $f(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$;

И) $f(x) = \frac{\lg x}{\lg 2}$.

а)

Для упрощения функции $f(x) = \frac{4^x}{2^x}$ воспользуемся свойствами степеней.
Представим основание 4 в виде степени 2: $4 = 2^2$.
Тогда $4^x$ можно записать как $(2^2)^x$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $4^x = 2^{2x}$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$f(x) = \frac{2^{2x}}{2^x}$.
Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$f(x) = 2^{2x-x} = 2^x$.
Ответ: $f(x) = 2^x$.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3^x}{9^x}$.
Представим основание 9 в виде степени 3: $9 = 3^2$.
Тогда $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.
Подставим в исходную функцию:
$f(x) = \frac{3^x}{3^{2x}}$.
Используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$f(x) = 3^{x-2x} = 3^{-x}$.
Выражение также можно записать как $f(x) = (\frac{1}{3})^x$.
Ответ: $f(x) = 3^{-x}$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2^x + 4^x}{2^x}$.
Разделим числитель почленно на знаменатель:
$f(x) = \frac{2^x}{2^x} + \frac{4^x}{2^x}$.
Первое слагаемое равно 1: $\frac{2^x}{2^x} = 1$.
Второе слагаемое упростим, используя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$:
$\frac{4^x}{2^x} = (\frac{4}{2})^x = 2^x$.
Таким образом, функция принимает вид:
$f(x) = 1 + 2^x$.
Ответ: $f(x) = 1 + 2^x$.

г)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3^x}{3^x + 9^x}$.
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = 3^{2x}$.
$f(x) = \frac{3^x}{3^x + 3^{2x}}$.
Вынесем в знаменателе общий множитель $3^x$ за скобки:
$f(x) = \frac{3^x}{3^x(1 + 3^x)}$.
Сократим дробь на $3^x$ (это возможно, так как $3^x > 0$ для любого $x$):
$f(x) = \frac{1}{1 + 3^x}$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{1 + 3^x}$.

д)

Дана функция $f(x) = \frac{2^x - 4^x}{2^x + 4^x}$.
Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$.
$f(x) = \frac{2^x - 2^{2x}}{2^x + 2^{2x}}$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки в числителе и знаменателе:
$f(x) = \frac{2^x(1 - 2^x)}{2^x(1 + 2^x)}$.
Сократим дробь на $2^x$:
$f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$.
Ответ: $f(x) = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$.

е)

4.45 a) $f(x) = \log_2 x$;

Б) $f(x) = \lg x$;

В) $f(x) = 4 \log_2 x + 3 \ln x - 2 \lg x$;

Г) $f(x) = 5 \log_3 x - 6 \ln x + 7 \lg x$.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение их производных. Для решения нам понадобится формула производной логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Частным случаем этой формулы является производная натурального логарифма: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x}$.

а)

Дана функция $f(x) = \log_2 x$.

Для нахождения производной $f'(x)$ используем формулу производной логарифма с основанием $a=2$:

$f'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \lg x$.

Здесь $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $f(x) = \log_{10} x$.

Используем формулу производной логарифма с основанием $a=10$:

$f'(x) = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$.

в)

Дана функция $f(x) = 4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций (производная суммы равна сумме производных) и правило вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x)' = (4\log_2 x)' + (3\ln x)' - (2\lg x)' = 4(\log_2 x)' + 3(\ln x)' - 2(\lg x)'$.

Подставим известные нам производные:

$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

Получаем:

$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x \ln 2} + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.

Можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:

$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{4}{\ln 2} + 3 - \frac{2}{\ln 10} \right)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.

г)

Дана функция $f(x) = 5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x$.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Дифференцируем функцию почленно:

$f'(x) = (5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x)' = 5(\log_3 x)' - 6(\ln x)' + 7(\lg x)'$.

Находим производные для каждого слагаемого:

$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

Подставляем их в выражение для производной:

$f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x \ln 3} - 6 \cdot \frac{1}{x} + 7 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.

Также можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:

$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{5}{\ln 3} - 6 + \frac{7}{\ln 10} \right)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.

4.46 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = \sin x$;

б) $y = \cos x$;

в) $y = \operatorname{tg} x$;

г) $y = \operatorname{ctg} x$.

При каких значениях $x$ справедлива каждая из формул?

а) Формула для нахождения производной функции $y = \sin x$ имеет вид:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.
Функция $y = \sin x$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная, функция $y' = \cos x$, также определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, формула справедлива при любых значениях $x$.
Ответ: $y' = \cos x$, формула справедлива для $x \in \mathbb{R}$.

б) Формула для нахождения производной функции $y = \cos x$ имеет вид:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Функция $y = \cos x$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная, функция $y' = -\sin x$, также определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, формула справедлива при любых значениях $x$.
Ответ: $y' = -\sin x$, формула справедлива для $x \in \mathbb{R}$.

в) Формула для нахождения производной функции $y = \text{tg}\,x$ имеет вид:
$y' = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Функция тангенса $y = \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена и дифференцируема только для тех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ также определена при тех же условиях.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$, формула справедлива при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Формула для нахождения производной функции $y = \text{ctg}\,x$ имеет вид:
$y' = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Функция котангенса $y = \text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена и дифференцируема только для тех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ также определена при тех же условиях.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, формула справедлива при $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4.47* Докажите формулы для нахождения производных функций $y = \cos x$ и $y = \operatorname{ctg} x$.

y = cos x
Докажем формулу для производной функции $y = \cos x$, используя определение производной. Производная функции $f(x)$ в точке $x$ определяется как предел:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Для функции $y = \cos x$ имеем:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$
Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.
Применив ее к числителю, получим:
$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2 \sin\frac{x + \Delta x + x}{2} \sin\frac{x + \Delta x - x}{2} = -2 \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \sin\frac{\Delta x}{2}$
Подставим это выражение обратно в предел:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$
Преобразуем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$
Поскольку предел произведения равен произведению пределов (если они существуют), получим:
$(\cos x)' = \left( \lim_{\Delta x \to 0} - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \right) \cdot \left( \lim_{\frac{\Delta x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$
Вычислим каждый предел отдельно:
$\lim_{\Delta x \to 0} - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) = -\sin(x+0) = -\sin x$ (в силу непрерывности функции синус)
$\lim_{\frac{\Delta x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$ (первый замечательный предел)
Перемножив результаты, получаем:
$(\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x$
Ответ: $(\cos x)' = -\sin x$

y = ctg x
Докажем формулу для производной функции $y = \operatorname{ctg} x$. Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:
$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$
Воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби):
$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные нам известны:
$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$ (доказано выше)
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$ (известная формула)
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$(\operatorname{ctg} x)' = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}$
Вынесем минус за скобки в числителе:
$(\operatorname{ctg} x)' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Укажите, при каких значениях x функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.48–4.49):

4.48 a) $f(x) = x^{12} + 12^x$;

б) $f(x) = x^{20} - 3 \sin x$;

в) $f(x) = \ln x - \cos x$;

г) $f(x) = \log_4 x + x^{-2}$;

д) $f(x) = x^{12} \cdot 12^x$;

е) $f(x) = x^{25} \cdot 4 \cos x.$

а)

Функция $f(x) = x^{12} + 12^x$ представляет собой сумму степенной функции $x^{12}$ и показательной функции $12^x$. Обе эти функции определены и дифференцируемы на всей числовой прямой. Следовательно, их сумма также дифференцируема для всех действительных чисел $x$. Функция имеет производную при $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также формулы производных для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$.

$f'(x) = (x^{12} + 12^x)' = (x^{12})' + (12^x)' = 12x^{11} + 12^x \ln 12$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 12x^{11} + 12^x \ln 12$.

б)

Функция $f(x) = x^{20} - 3 \sin x$ является разностью степенной функции $x^{20}$ и тригонометрической функции $3 \sin x$. Обе функции определены и дифференцируемы для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, их разность также дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и правило для константы $(cu)' = c \cdot u'$. Производная степенной функции: $(x^{20})' = 20x^{19}$. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

$f'(x) = (x^{20} - 3 \sin x)' = (x^{20})' - 3(\sin x)' = 20x^{19} - 3 \cos x$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 20x^{19} - 3 \cos x$.

в)

Функция $f(x) = \ln x - \cos x$ является разностью функции натурального логарифма $\ln x$ и функции косинуса $\cos x$. Функция $\ln x$ определена и дифференцируема только для положительных значений $x > 0$. Функция $\cos x$ дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Чтобы функция $f(x)$ имела производную, необходимо, чтобы обе ее составляющие были дифференцируемы, что выполняется при $x > 0$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$. Производная натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

$f'(x) = (\ln x - \cos x)' = (\ln x)' - (\cos x)' = \frac{1}{x} - (-\sin x) = \frac{1}{x} + \sin x$.

Ответ: производная существует при $x > 0$ и равна $f'(x) = \frac{1}{x} + \sin x$.

г)

Функция $f(x) = \log_4 x + x^{-2}$ является суммой логарифмической функции $\log_4 x$ и степенной функции $x^{-2}$. Функция $\log_4 x$ определена и дифференцируема при $x > 0$. Функция $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена и дифференцируема для всех $x \neq 0$. Область дифференцируемости функции $f(x)$ является пересечением областей дифференцируемости ее слагаемых, то есть $x > 0$.

Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$. Производная логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (\log_4 x + x^{-2})' = (\log_4 x)' + (x^{-2})' = \frac{1}{x \ln 4} + (-2)x^{-3} = \frac{1}{x \ln 4} - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: производная существует при $x > 0$ и равна $f'(x) = \frac{1}{x \ln 4} - \frac{2}{x^3}$.

д)

Функция $f(x) = x^{12} \cdot 12^x$ является произведением степенной функции $x^{12}$ и показательной функции $12^x$. Обе функции дифференцируемы на всей числовой прямой ($x \in \mathbb{R}$), поэтому их произведение также дифференцируемо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{12}$ и $v(x) = 12^x$. Тогда их производные: $u'(x) = 12x^{11}$ и $v'(x) = 12^x \ln 12$.

$f'(x) = (x^{12})' \cdot 12^x + x^{12} \cdot (12^x)' = 12x^{11} \cdot 12^x + x^{12} \cdot 12^x \ln 12$.

Вынесем общий множитель $x^{11} \cdot 12^x$ за скобки: $f'(x) = x^{11} \cdot 12^x(12 + x \ln 12)$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = x^{11} \cdot 12^x(12 + x \ln 12)$.

е)

Функция $f(x) = x^{25} \cdot 4 \cos x$ является произведением степенной функции $x^{25}$ и тригонометрической функции $4 \cos x$. Обе функции дифференцируемы для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, их произведение также дифференцируемо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и вынесение константы за знак производной. $f'(x) = 4(x^{25} \cos x)'$.

Пусть $u(x) = x^{25}$ и $v(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = 25x^{24}$ и $v'(x) = -\sin x$.

$f'(x) = 4((x^{25})' \cos x + x^{25}(\cos x)') = 4(25x^{24}\cos x + x^{25}(-\sin x)) = 4(25x^{24}\cos x - x^{25}\sin x)$.

Вынесем общий множитель $x^{24}$ за скобки: $f'(x) = 4x^{24}(25\cos x - x\sin x)$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 4x^{24}(25\cos x - x\sin x)$.

4.49* a) $f(x) = \cos 2002x \cos 2001x + \sin 2001x \sin 2002x;$

б) $f(x) = \sin 2002x \cos 2001x - \sin 2001x \cos 2002x;$

в) $f(x) = \frac{\operatorname{tg} 2002x - \operatorname{tg} 2001x}{1 + \operatorname{tg} 2002x \operatorname{tg} 2001x}.$

а) Исходное выражение $f(x) = \cos2002x \cos2001x + \sin2001x \sin2002x$. Данное выражение можно упростить, используя формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \cos(2002x - 2001x) = \cos((2002 - 2001)x) = \cos(x)$.
Ответ: $f(x) = \cos x$.

б) Исходное выражение $f(x) = \sin2002x \cos2001x - \sin2001x \cos2002x$. Данное выражение можно упростить, используя формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \sin(2002x - 2001x) = \sin((2002 - 2001)x) = \sin(x)$.
Ответ: $f(x) = \sin x$.

в) Исходное выражение $f(x) = \frac{\text{tg}2002x - \text{tg}2001x}{1 + \text{tg}2002x \text{tg}2001x}$. Данное выражение можно упростить, используя формулу тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В нашем случае, пусть $\alpha = 2002x$ и $\beta = 2001x$.
Тогда функция принимает вид:
$f(x) = \text{tg}(2002x - 2001x) = \text{tg}((2002 - 2001)x) = \text{tg}(x)$.
Ответ: $f(x) = \text{tg} x$.

4.50 Найдите значения $x$, при которых производная функции

$y = \frac{\ln x}{x}$:

а) равна нулю;

б) положительна;

в) отрицательна.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $y = \frac{\ln x}{x}$ равна нулю, положительна или отрицательна, необходимо сначала найти саму производную и ее область определения.

Исходная функция $y = \frac{\ln x}{x}$ определена при $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$. Тогда их производные равны $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

Область определения производной $y'$ совпадает с областью определения исходной функции, то есть $x > 0$. В этой области знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, знак производной $y'$ зависит только от знака ее числителя $1 - \ln x$.

а) равна нулю
Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:$1 - \ln x = 0$
$\ln x = 1$
$x = e^1 = e$
Ответ: $x = e$.

б) положительна
Производная положительна, когда ее числитель положителен:$1 - \ln x > 0$
$1 > \ln x$
$\ln x < 1$
Поскольку функция $f(t)=\ln t$ является возрастающей, неравенство сохраняет свой знак для аргументов:$x < e$
Учитывая область определения $x > 0$, получаем итоговый интервал: $0 < x < e$.
Ответ: $x \in (0; e)$.

в) отрицательна
Производная отрицательна, когда ее числитель отрицателен:$1 - \ln x < 0$
$1 < \ln x$
$\ln x > 1$
Так как логарифмическая функция является возрастающей:$x > e$
Это решение полностью входит в область определения $x > 0$.
Ответ: $x \in (e; +\infty)$.

4.51* Докажите справедливость равенства:

а) $(\sin 2x)' = 2 \cos 2x$;

б) $(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$;

в) $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$;

г) $(\ln 17x)' = \frac{1}{x}, x > 0$.

а) Для доказательства используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае имеем сложную функцию $y = \sin(2x)$, где внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Находим производную внешней функции: $(\sin u)' = \cos u$.

Находим производную внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $2 \cos 2x$.

б) Для доказательства преобразуем выражение $5^{2x}$ используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$.

Теперь найдем производную от показательной функции $y = 25^x$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.

$(25^x)' = 25^x \cdot \ln 25$.

Подставляя обратно $25^x = 5^{2x}$, получаем:

$(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$.

Равенство доказано.

Ответ: $5^{2x} \cdot \ln 25$.

в) Используем правило дифференцирования сложной функции для $y = \cos(2x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Производная внешней функции: $(\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2 \sin 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $-2 \sin 2x$.

г) Для доказательства равенства при $x > 0$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование свойства логарифмов.

Используем свойство логарифма произведения $\ln(ab) = \ln a + \ln b$:

$\ln(17x) = \ln 17 + \ln x$.

Теперь найдем производную от суммы. Производная константы $\ln 17$ равна нулю.

$(\ln 17x)' = (\ln 17 + \ln x)' = (\ln 17)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Способ 2: Использование правила дифференцирования сложной функции.

Для функции $y = \ln(17x)$ внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $g(x) = 17x$.

Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции: $(17x)' = 17$.

$(\ln 17x)' = \frac{1}{17x} \cdot (17x)' = \frac{1}{17x} \cdot 17 = \frac{1}{x}$.

Оба способа доказывают справедливость равенства.

Ответ: $\frac{1}{x}$.