Номер 4.51, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.51, страница 107.

№4.51 (с. 107)
Условие. №4.51 (с. 107)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Условие

4.51* Докажите справедливость равенства:

а) $(\sin 2x)' = 2 \cos 2x$;

б) $(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$;

в) $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$;

г) $(\ln 17x)' = \frac{1}{x}, x > 0$.

Решение 1. №4.51 (с. 107)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №4.51 (с. 107)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 2
Решение 3. №4.51 (с. 107)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 3 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 107, номер 4.51, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №4.51 (с. 107)

а) Для доказательства используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае имеем сложную функцию $y = \sin(2x)$, где внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Находим производную внешней функции: $(\sin u)' = \cos u$.

Находим производную внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $2 \cos 2x$.

б) Для доказательства преобразуем выражение $5^{2x}$ используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$.

Теперь найдем производную от показательной функции $y = 25^x$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.

$(25^x)' = 25^x \cdot \ln 25$.

Подставляя обратно $25^x = 5^{2x}$, получаем:

$(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$.

Равенство доказано.

Ответ: $5^{2x} \cdot \ln 25$.

в) Используем правило дифференцирования сложной функции для $y = \cos(2x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Производная внешней функции: $(\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2 \sin 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $-2 \sin 2x$.

г) Для доказательства равенства при $x > 0$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование свойства логарифмов.

Используем свойство логарифма произведения $\ln(ab) = \ln a + \ln b$:

$\ln(17x) = \ln 17 + \ln x$.

Теперь найдем производную от суммы. Производная константы $\ln 17$ равна нулю.

$(\ln 17x)' = (\ln 17 + \ln x)' = (\ln 17)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Способ 2: Использование правила дифференцирования сложной функции.

Для функции $y = \ln(17x)$ внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $g(x) = 17x$.

Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции: $(17x)' = 17$.

$(\ln 17x)' = \frac{1}{17x} \cdot (17x)' = \frac{1}{17x} \cdot 17 = \frac{1}{x}$.

Оба способа доказывают справедливость равенства.

Ответ: $\frac{1}{x}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.51 расположенного на странице 107 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.51 (с. 107), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.