Номер 4.51, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.51, страница 107.
№4.51 (с. 107)
Условие. №4.51 (с. 107)
скриншот условия

4.51* Докажите справедливость равенства:
а) $(\sin 2x)' = 2 \cos 2x$;
б) $(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$;
в) $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$;
г) $(\ln 17x)' = \frac{1}{x}, x > 0$.
Решение 1. №4.51 (с. 107)




Решение 2. №4.51 (с. 107)

Решение 3. №4.51 (с. 107)


Решение 4. №4.51 (с. 107)
а) Для доказательства используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае имеем сложную функцию $y = \sin(2x)$, где внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.
Находим производную внешней функции: $(\sin u)' = \cos u$.
Находим производную внутренней функции: $(2x)' = 2$.
По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.
Равенство доказано.
Ответ: $2 \cos 2x$.
б) Для доказательства преобразуем выражение $5^{2x}$ используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$.
Теперь найдем производную от показательной функции $y = 25^x$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.
$(25^x)' = 25^x \cdot \ln 25$.
Подставляя обратно $25^x = 5^{2x}$, получаем:
$(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$.
Равенство доказано.
Ответ: $5^{2x} \cdot \ln 25$.
в) Используем правило дифференцирования сложной функции для $y = \cos(2x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.
Производная внешней функции: $(\cos u)' = -\sin u$.
Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.
По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2 \sin 2x$.
Равенство доказано.
Ответ: $-2 \sin 2x$.
г) Для доказательства равенства при $x > 0$ можно использовать два способа.
Способ 1: Использование свойства логарифмов.
Используем свойство логарифма произведения $\ln(ab) = \ln a + \ln b$:
$\ln(17x) = \ln 17 + \ln x$.
Теперь найдем производную от суммы. Производная константы $\ln 17$ равна нулю.
$(\ln 17x)' = (\ln 17 + \ln x)' = (\ln 17)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
Способ 2: Использование правила дифференцирования сложной функции.
Для функции $y = \ln(17x)$ внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $g(x) = 17x$.
Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
Производная внутренней функции: $(17x)' = 17$.
$(\ln 17x)' = \frac{1}{17x} \cdot (17x)' = \frac{1}{17x} \cdot 17 = \frac{1}{x}$.
Оба способа доказывают справедливость равенства.
Ответ: $\frac{1}{x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.51 расположенного на странице 107 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.51 (с. 107), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.