Номер 4.51, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.51, страница 107.

Условие.

4.51* Докажите справедливость равенства:

а) $(\sin 2x)' = 2 \cos 2x$;

б) $(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$;

в) $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$;

г) $(\ln 17x)' = \frac{1}{x}, x > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае имеем сложную функцию $y = \sin(2x)$, где внешняя функция $f(u) = \sin u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Находим производную внешней функции: $(\sin u)' = \cos u$.

Находим производную внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $2 \cos 2x$.

б) Для доказательства преобразуем выражение $5^{2x}$ используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2x} = (5^2)^x = 25^x$.

Теперь найдем производную от показательной функции $y = 25^x$ по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.

$(25^x)' = 25^x \cdot \ln 25$.

Подставляя обратно $25^x = 5^{2x}$, получаем:

$(5^{2x})' = 5^{2x} \cdot \ln 25$.

Равенство доказано.

Ответ: $5^{2x} \cdot \ln 25$.

в) Используем правило дифференцирования сложной функции для $y = \cos(2x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \cos u$, а внутренняя $g(x) = 2x$.

Производная внешней функции: $(\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2 \sin 2x$.

Равенство доказано.

Ответ: $-2 \sin 2x$.

г) Для доказательства равенства при $x > 0$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование свойства логарифмов.

Используем свойство логарифма произведения $\ln(ab) = \ln a + \ln b$:

$\ln(17x) = \ln 17 + \ln x$.

Теперь найдем производную от суммы. Производная константы $\ln 17$ равна нулю.

$(\ln 17x)' = (\ln 17 + \ln x)' = (\ln 17)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Способ 2: Использование правила дифференцирования сложной функции.

Для функции $y = \ln(17x)$ внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $g(x) = 17x$.

Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции: $(17x)' = 17$.

$(\ln 17x)' = \frac{1}{17x} \cdot (17x)' = \frac{1}{17x} \cdot 17 = \frac{1}{x}$.

Оба способа доказывают справедливость равенства.

Ответ: $\frac{1}{x}$.