Номер 4.53, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.53, страница 110.

Условие.

4.53 a) $f(x) = e^{3x};$

б) $f(x) = e^{-4x};$

В) $f(x) = e^{2x+1};$

Г) $f(x) = e^{-2x+7};$

Д) $f(x) = 2^{5x};$

е) $f(x) = 6^{-3x};$

Ж) $f(x) = 4^{3x-8};$

З) $f(x) = 5^{-4x+1};$

И) $f(x) = 2^{-0.5x-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{3x}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для показательной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В данном случае, внутренняя функция $u(x) = 3x$, а её производная $u'(x) = (3x)' = 3$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.
Ответ: $3e^{3x}$.

б) Для функции $f(x) = e^{-4x}$ применяем то же правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = -4x$, и её производная $u'(x) = (-4x)' = -4$.
Таким образом, производная исходной функции:
$f'(x) = (e^{-4x})' = e^{-4x} \cdot (-4x)' = e^{-4x} \cdot (-4) = -4e^{-4x}$.
Ответ: $-4e^{-4x}$.

в) Для функции $f(x) = e^{2x+1}$ снова используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Внутренняя функция $u(x) = 2x+1$, её производная $u'(x) = (2x+1)' = 2$.
Находим производную:
$f'(x) = (e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.
Ответ: $2e^{2x+1}$.

г) Для функции $f(x) = e^{-2x+7}$ применяем правило $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = -2x+7$, а $u'(x) = (-2x+7)' = -2$.
Следовательно:
$f'(x) = (e^{-2x+7})' = e^{-2x+7} \cdot (-2x+7)' = e^{-2x+7} \cdot (-2) = -2e^{-2x+7}$.
Ответ: $-2e^{-2x+7}$.

д) Для нахождения производной функции $f(x) = 2^{5x}$ используется общая формула для производной сложной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
В этом случае основание $a=2$, а показатель $u(x) = 5x$. Производная показателя $u'(x) = (5x)' = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$f'(x) = (2^{5x})' = 2^{5x} \ln 2 \cdot (5x)' = 2^{5x} \ln 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2^{5x} \ln 2$.
Ответ: $5 \cdot 2^{5x} \ln 2$.

е) Для функции $f(x) = 6^{-3x}$ используем ту же формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=6$, $u(x) = -3x$, и $u'(x) = (-3x)' = -3$.
Вычисляем производную:
$f'(x) = (6^{-3x})' = 6^{-3x} \ln 6 \cdot (-3x)' = 6^{-3x} \ln 6 \cdot (-3) = -3 \cdot 6^{-3x} \ln 6$.
Ответ: $-3 \cdot 6^{-3x} \ln 6$.

ж) Для функции $f(x) = 4^{3x-8}$ применяем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=4$, $u(x) = 3x-8$, и $u'(x) = (3x-8)' = 3$.
Находим производную:
$f'(x) = (4^{3x-8})' = 4^{3x-8} \ln 4 \cdot (3x-8)' = 4^{3x-8} \ln 4 \cdot 3 = 3 \cdot 4^{3x-8} \ln 4$.
Ответ: $3 \cdot 4^{3x-8} \ln 4$.

з) Для функции $f(x) = 5^{-4x+1}$ используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
В данном случае $a=5$, $u(x) = -4x+1$, и $u'(x) = (-4x+1)' = -4$.
Производная равна:
$f'(x) = (5^{-4x+1})' = 5^{-4x+1} \ln 5 \cdot (-4x+1)' = 5^{-4x+1} \ln 5 \cdot (-4) = -4 \cdot 5^{-4x+1} \ln 5$.
Ответ: $-4 \cdot 5^{-4x+1} \ln 5$.

и) Для функции $f(x) = 2^{-0.5x-2}$ применяем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=2$, $u(x) = -0.5x-2$, и $u'(x) = (-0.5x-2)' = -0.5$.
Вычисляем производную:
$f'(x) = (2^{-0.5x-2})' = 2^{-0.5x-2} \ln 2 \cdot (-0.5x-2)' = 2^{-0.5x-2} \ln 2 \cdot (-0.5) = -0.5 \cdot 2^{-0.5x-2} \ln 2$.
Ответ: $-0.5 \cdot 2^{-0.5x-2} \ln 2$.