Номер 4.46, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.46, страница 107.

Условие.

4.46 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = \sin x$;

б) $y = \cos x$;

в) $y = \operatorname{tg} x$;

г) $y = \operatorname{ctg} x$.

При каких значениях $x$ справедлива каждая из формул?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Формула для нахождения производной функции $y = \sin x$ имеет вид:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.
Функция $y = \sin x$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная, функция $y' = \cos x$, также определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, формула справедлива при любых значениях $x$.
Ответ: $y' = \cos x$, формула справедлива для $x \in \mathbb{R}$.

б) Формула для нахождения производной функции $y = \cos x$ имеет вид:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Функция $y = \cos x$ определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная, функция $y' = -\sin x$, также определена для всех действительных значений $x$. Следовательно, формула справедлива при любых значениях $x$.
Ответ: $y' = -\sin x$, формула справедлива для $x \in \mathbb{R}$.

в) Формула для нахождения производной функции $y = \text{tg}\,x$ имеет вид:
$y' = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Функция тангенса $y = \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена и дифференцируема только для тех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ также определена при тех же условиях.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$, формула справедлива при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Формула для нахождения производной функции $y = \text{ctg}\,x$ имеет вид:
$y' = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Функция котангенса $y = \text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена и дифференцируема только для тех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ также определена при тех же условиях.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, формула справедлива при $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.