Номер 4.43, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.43, страница 107.

Условие.

Укажите, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ имеет производную, и найдите эту производную, если (4.43–4.45):

4.43 a) $f(x) = 11^x;$

б) $f(x) = 10^x;$

в) $f(x) = 4^x + 8^x - 16^x;$

г) $f(x) = 3^x + 9^x - 27^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Функция $f(x) = 11^x$ является показательной функцией. Показательная функция вида $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных значений $x$. Следовательно, функция $f(x) = 11^x$ имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной воспользуемся формулой производной показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln(a)$.

В данном случае $a=11$, поэтому производная равна:

$f'(x) = (11^x)' = 11^x \ln(11)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 11^x \ln(11)$.

б)

Функция $f(x) = 10^x$ также является показательной. Она определена и дифференцируема для всех действительных значений $x$, то есть при $x \in \mathbb{R}$.

Применяем ту же формулу $(a^x)' = a^x \ln(a)$ при $a=10$:

$f'(x) = (10^x)' = 10^x \ln(10)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 10^x \ln(10)$.

в)

Функция $f(x) = 4^x + 8^x - 16^x$ представляет собой сумму и разность показательных функций. Каждая из функций $y_1=4^x$, $y_2=8^x$ и $y_3=16^x$ дифференцируема на всей числовой оси. Согласно правилу дифференцирования суммы и разности функций, функция $f(x)$ также дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы (разности) и формулу производной показательной функции для каждого слагаемого:

$f'(x) = (4^x + 8^x - 16^x)' = (4^x)' + (8^x)' - (16^x)' = 4^x \ln(4) + 8^x \ln(8) - 16^x \ln(16)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 4^x \ln(4) + 8^x \ln(8) - 16^x \ln(16)$.

г)

Функция $f(x) = 3^x + 9^x - 27^x$ является суммой и разностью показательных функций. Каждое слагаемое ($3^x$, $9^x$, $27^x$) является дифференцируемой функцией на множестве всех действительных чисел. Следовательно, и вся функция $f(x)$ дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной применим те же правила:

$f'(x) = (3^x + 9^x - 27^x)' = (3^x)' + (9^x)' - (27^x)' = 3^x \ln(3) + 9^x \ln(9) - 27^x \ln(27)$.

Ответ: функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 3^x \ln(3) + 9^x \ln(9) - 27^x \ln(27)$.