Номер 4.47, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.47, страница 107.

Условие.

4.47* Докажите формулы для нахождения производных функций $y = \cos x$ и $y = \operatorname{ctg} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

y = cos x
Докажем формулу для производной функции $y = \cos x$, используя определение производной. Производная функции $f(x)$ в точке $x$ определяется как предел:
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
Для функции $y = \cos x$ имеем:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$
Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.
Применив ее к числителю, получим:
$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2 \sin\frac{x + \Delta x + x}{2} \sin\frac{x + \Delta x - x}{2} = -2 \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \sin\frac{\Delta x}{2}$
Подставим это выражение обратно в предел:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$
Преобразуем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$:
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \cdot \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$
Поскольку предел произведения равен произведению пределов (если они существуют), получим:
$(\cos x)' = \left( \lim_{\Delta x \to 0} - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \right) \cdot \left( \lim_{\frac{\Delta x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$
Вычислим каждый предел отдельно:
$\lim_{\Delta x \to 0} - \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) = -\sin(x+0) = -\sin x$ (в силу непрерывности функции синус)
$\lim_{\frac{\Delta x}{2} \to 0} \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$ (первый замечательный предел)
Перемножив результаты, получаем:
$(\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x$
Ответ: $(\cos x)' = -\sin x$

y = ctg x
Докажем формулу для производной функции $y = \operatorname{ctg} x$. Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:
$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$
Воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби):
$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные нам известны:
$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$ (доказано выше)
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$ (известная формула)
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$(\operatorname{ctg} x)' = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}$
Вынесем минус за скобки в числителе:
$(\operatorname{ctg} x)' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$