Номер 4.42, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.42, страница 107.

Условие.

4.42 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = a^x$;

б) $y = e^x$;

в) $y = \log_a x$;

г) $y = \ln x$.

При каких значениях $x$ справедлива каждая из формул?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Производная показательной функции $y=a^x$ является одной из основных формул дифференцирования. Она равна произведению самой функции на натуральный логарифм ее основания.
Формула производной: $(a^x)' = a^x \ln a$.
Показательная функция $y=a^x$ (при стандартных ограничениях на основание $a > 0, a \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных значений аргумента $x$. Таким образом, данная формула справедлива на всей числовой оси.
Ответ: Формула производной: $y' = a^x \ln a$. Формула справедлива для всех действительных $x$, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y=e^x$ — это частный случай показательной функции $y=a^x$, где в качестве основания $a$ выступает число Эйлера $e$.
Применяя общую формулу $(a^x)' = a^x \ln a$ для $a=e$, получаем: $(e^x)' = e^x \ln e$.
Поскольку натуральный логарифм числа $e$ равен единице ($\ln e = 1$), формула производной принимает очень простой вид: $(e^x)' = e^x$.
Как и в общем случае, функция $y=e^x$ определена и дифференцируема для всех действительных $x$.
Ответ: Формула производной: $y' = e^x$. Формула справедлива для всех действительных $x$, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Производная логарифмической функции $y = \log_a x$ также является стандартной табличной производной.
Формула производной: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
Логарифмическая функция $y=\log_a x$ (при стандартных ограничениях на основание $a > 0, a \neq 1$) определена только для положительных значений аргумента. На всей своей области определения она является дифференцируемой.
Следовательно, формула для ее производной справедлива при $x > 0$.
Ответ: Формула производной: $y' = \frac{1}{x \ln a}$. Формула справедлива при $x > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.

г) Функция $y=\ln x$ (натуральный логарифм) — это частный случай логарифмической функции $y = \log_a x$, где основание $a$ равно числу Эйлера $e$.
Используя общую формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ для $a=e$, получаем: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e}$.
Так как $\ln e = 1$, формула производной натурального логарифма упрощается до: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Область определения функции натурального логарифма — это все положительные действительные числа, и на этой области функция дифференцируема.
Ответ: Формула производной: $y' = \frac{1}{x}$. Формула справедлива при $x > 0$, то есть при $x \in (0; +\infty)$.