Номер 4.40, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.40, страница 106.

Условие.

Для любого $x \neq 0$ найдите производную функции (4.40–4.41):

4.40

а) $y = x^{-21}$; б) $y = x^{-201}$; в) $y = x^{-2001}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения производной функции вида $y = x^n$ используется общая формула производной степенной функции:
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Эта формула справедлива для любого действительного показателя степени $n$. В условии задачи указано, что $x \neq 0$, так как при отрицательных показателях степени функция в точке $x=0$ не определена.

а) Дана функция $y = x^{-21}$.
В данном случае показатель степени $n = -21$.
Применяем формулу производной степенной функции:
$y' = (x^{-21})' = -21 \cdot x^{-21-1} = -21x^{-22}$.
Ответ: $y' = -21x^{-22}$.

б) Дана функция $y = x^{-201}$.
Здесь показатель степени $n = -201$.
Применяем ту же формулу:
$y' = (x^{-201})' = -201 \cdot x^{-201-1} = -201x^{-202}$.
Ответ: $y' = -201x^{-202}$.

в) Дана функция $y = x^{-2001}$.
Здесь показатель степени $n = -2001$.
Снова применяем формулу для производной степенной функции:
$y' = (x^{-2001})' = -2001 \cdot x^{-2001-1} = -2001x^{-2002}$.
Ответ: $y' = -2001x^{-2002}$.