Страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.37 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = x^n$, $n \in \mathbb{N}$;

б) $y = x^{-n}$, $n \in \mathbb{N}$.

При каких значениях x справедлива эта формула?

а) Для нахождения производной степенной функции $y = x^n$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$), используется общая формула производной степенной функции: $(x^k)' = kx^{k-1}$. В данном случае показатель степени $k=n$.

Подставляя $n$ в эту формулу, получаем:

$y' = (x^n)' = nx^{n-1}$

Эта формула справедлива для всех значений $x$, при которых и исходная функция, и ее производная существуют. Поскольку при натуральном $n$ функция $y = x^n$ является многочленом (например, $x, x^2, x^3, \dots$), она определена и дифференцируема на всей числовой оси. Ее производная $y' = nx^{n-1}$ также является многочленом (или константой при $n=1$), который определен для любого действительного $x$.

Ответ: Формула для производной: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Формула справедлива при любых значениях $x$, то есть для $x \in R$.

б) Для функции $y = x^{-n}$, где $n \in N$, мы также применяем общую формулу производной степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$, но теперь показатель степени $k = -n$.

Подставляя $-n$ в формулу, получаем:

$y' = (x^{-n})' = (-n)x^{-n-1} = -nx^{-(n+1)}$

Теперь определим, при каких значениях $x$ эта формула справедлива. Исходную функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^n}$. Так как $n$ — натуральное число, знаменатель $x^n$ равен нулю при $x=0$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме нуля. Производная $y' = -nx^{-(n+1)}$ также может быть записана в виде дроби $y' = -\frac{n}{x^{n+1}}$. Знаменатель производной $x^{n+1}$ также обращается в ноль при $x=0$. Следовательно, и функция, и ее производная существуют только при $x \neq 0$.

Ответ: Формула для производной: $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$. Формула справедлива при всех значениях $x \neq 0$.

Для любого $x \in \mathbb{R}$ найдите производную функции (4.38–4.39):

4.38 а) $y = x^{11}$;

б) $y = x^{101}$;

в) $y = x^{1001}$.

Для нахождения производной функции вида $y = x^n$, где $n$ — постоянное число, используется правило дифференцирования степенной функции:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Это правило применимо для всех $x \in \mathbb{R}$, когда $n$ является натуральным числом, что соответствует условиям задачи.

а) Дана функция $y = x^{11}$.

В этом случае показатель степени $n = 11$. Применяя правило дифференцирования, получаем:

$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11-1} = 11x^{10}$.

Ответ: $y' = 11x^{10}$.

б) Дана функция $y = x^{101}$.

Здесь показатель степени $n = 101$. Находим производную, используя ту же формулу:

$y' = (x^{101})' = 101 \cdot x^{101-1} = 101x^{100}$.

Ответ: $y' = 101x^{100}$.

в) Дана функция $y = x^{1001}$.

Показатель степени в данном случае $n = 1001$. Вычисляем производную:

$y' = (x^{1001})' = 1001 \cdot x^{1001-1} = 1001x^{1000}$.

Ответ: $y' = 1001x^{1000}$.

4.39 a) $y = 7x^4 - 5x^3 - x + 25;$

В) $y = x^{12} - 5x^8 + 6x^4 - 1;$

б) $y = -x^4 + 8x^2 + 2x - 19;$

г) $y = 12x^5 - 20x^3 - 30x^2.$

а) Для нахождения производной функции $y = 7x^4 - 5x^3 - x + 25$ необходимо продифференцировать каждое слагаемое, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы.

Найдём производную каждого слагаемого:

• $(7x^4)' = 7 \cdot 4x^{4-1} = 28x^3$
• $(-5x^3)' = -5 \cdot 3x^{3-1} = -15x^2$
• $(-x)' = -1$
• $(25)' = 0$ (производная константы равна нулю)

Сложив полученные результаты, получаем производную всей функции:

$y' = 28x^3 - 15x^2 - 1 + 0 = 28x^3 - 15x^2 - 1$

Ответ: $y' = 28x^3 - 15x^2 - 1$.

б) Дана функция $y = -x^4 + 8x^2 + 2x - 19$. Найдём её производную $y'$, применяя те же правила дифференцирования.

Продифференцируем каждый член многочлена:

• $(-x^4)' = -4x^{4-1} = -4x^3$
• $(8x^2)' = 8 \cdot 2x^{2-1} = 16x$
• $(2x)' = 2$
• $(-19)' = 0$

Суммируя результаты, получаем:

$y' = -4x^3 + 16x + 2 + 0 = -4x^3 + 16x + 2$

Ответ: $y' = -4x^3 + 16x + 2$.

в) Рассмотрим функцию $y = x^{12} - 5x^8 + 6x^4 - 1$. Найдём её производную.

Найдём производную для каждого слагаемого:

• $(x^{12})' = 12x^{12-1} = 12x^{11}$
• $(-5x^8)' = -5 \cdot 8x^{8-1} = -40x^7$
• $(6x^4)' = 6 \cdot 4x^{4-1} = 24x^3$
• $(-1)' = 0$

Объединяем производные слагаемых:

$y' = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3 + 0 = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3$

Ответ: $y' = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3$.

г) Для функции $y = 12x^5 - 20x^3 - 30x^2$ найдём производную.

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

• $(12x^5)' = 12 \cdot 5x^{5-1} = 60x^4$
• $(-20x^3)' = -20 \cdot 3x^{3-1} = -60x^2$
• $(-30x^2)' = -30 \cdot 2x^{2-1} = -60x$

Итоговая производная функции равна сумме производных её слагаемых:

$y' = 60x^4 - 60x^2 - 60x$

Ответ: $y' = 60x^4 - 60x^2 - 60x$.

Для любого $x \neq 0$ найдите производную функции (4.40–4.41):

а) $y = x^{-21}$; б) $y = x^{-201}$; в) $y = x^{-2001}$.

Для нахождения производной функции вида $y = x^n$ используется общая формула производной степенной функции:
$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Эта формула справедлива для любого действительного показателя степени $n$. В условии задачи указано, что $x \neq 0$, так как при отрицательных показателях степени функция в точке $x=0$ не определена.

а) Дана функция $y = x^{-21}$.
В данном случае показатель степени $n = -21$.
Применяем формулу производной степенной функции:
$y' = (x^{-21})' = -21 \cdot x^{-21-1} = -21x^{-22}$.
Ответ: $y' = -21x^{-22}$.

б) Дана функция $y = x^{-201}$.
Здесь показатель степени $n = -201$.
Применяем ту же формулу:
$y' = (x^{-201})' = -201 \cdot x^{-201-1} = -201x^{-202}$.
Ответ: $y' = -201x^{-202}$.

в) Дана функция $y = x^{-2001}$.
Здесь показатель степени $n = -2001$.
Снова применяем формулу для производной степенной функции:
$y' = (x^{-2001})' = -2001 \cdot x^{-2001-1} = -2001x^{-2002}$.
Ответ: $y' = -2001x^{-2002}$.