Страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Укажите, при каких значениях x функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.52—4.60):

4.52 а) $f(x) = \pi^x + e^x;$

б) $f(x) = x^e - x^\pi;$

в) $f(x) = \pi^x + x^\pi;$

г) $f(x) = x^e - e^x.$

а) Функция $f(x) = \pi^x + e^x$ представляет собой сумму двух показательных функций. Функция $y_1(x) = \pi^x$ (показательная функция с основанием $\pi > 0, \pi \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Ее производная равна $(\pi^x)' = \pi^x \ln \pi$. Функция $y_2(x) = e^x$ (показательная функция с основанием $e$) также определена и дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Ее производная равна $(e^x)' = e^x$. Так как оба слагаемых дифференцируемы на всей числовой прямой, их сумма также дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы: $f'(x) = (\pi^x + e^x)' = (\pi^x)' + (e^x)' = \pi^x \ln \pi + e^x$. Функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $f'(x) = \pi^x \ln \pi + e^x$.

б) Функция $f(x) = x^e - x^\pi$ представляет собой разность двух степенных функций с иррациональными показателями. Степенная функция $y(x) = x^a$ с иррациональным показателем $a$ определена и дифференцируема для всех $x > 0$. В данном случае оба слагаемых $y_1(x) = x^e$ (показатель $e \approx 2.718$) и $y_2(x) = x^\pi$ (показатель $\pi \approx 3.141$) определены и дифференцируемы при $x > 0$. Следовательно, их разность также дифференцируема при $x > 0$. Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$: $f'(x) = (x^e - x^\pi)' = (x^e)' - (x^\pi)' = ex^{e-1} - \pi x^{\pi-1}$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = ex^{e-1} - \pi x^{\pi-1}$.

в) Функция $f(x) = \pi^x + x^\pi$ является суммой показательной и степенной функций. Слагаемое $y_1(x) = \pi^x$ является показательной функцией, которая дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Слагаемое $y_2(x) = x^\pi$ является степенной функцией с иррациональным показателем $\pi$, которая дифференцируема для всех $x > 0$. Сумма этих функций будет дифференцируема на пересечении их областей дифференцируемости, то есть при $x > 0$. Найдем производную, используя соответствующие правила: $f'(x) = (\pi^x + x^\pi)' = (\pi^x)' + (x^\pi)' = \pi^x \ln \pi + \pi x^{\pi-1}$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = \pi^x \ln \pi + \pi x^{\pi-1}$.

г) Функция $f(x) = x^e - e^x$ является разностью степенной и показательной функций. Функция $y_1(x) = x^e$ является степенной функцией с иррациональным показателем $e$ и дифференцируема при $x > 0$. Функция $y_2(x) = e^x$ является показательной функцией и дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Разность этих функций будет дифференцируема на пересечении их областей дифференцируемости, то есть при $x > 0$. Найдем производную, используя соответствующие правила: $f'(x) = (x^e - e^x)' = (x^e)' - (e^x)' = ex^{e-1} - e^x$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = ex^{e-1} - e^x$.

4.53 a) $f(x) = e^{3x};$

б) $f(x) = e^{-4x};$

В) $f(x) = e^{2x+1};$

Г) $f(x) = e^{-2x+7};$

Д) $f(x) = 2^{5x};$

е) $f(x) = 6^{-3x};$

Ж) $f(x) = 4^{3x-8};$

З) $f(x) = 5^{-4x+1};$

И) $f(x) = 2^{-0.5x-2}.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = e^{3x}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для показательной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В данном случае, внутренняя функция $u(x) = 3x$, а её производная $u'(x) = (3x)' = 3$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.
Ответ: $3e^{3x}$.

б) Для функции $f(x) = e^{-4x}$ применяем то же правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = -4x$, и её производная $u'(x) = (-4x)' = -4$.
Таким образом, производная исходной функции:
$f'(x) = (e^{-4x})' = e^{-4x} \cdot (-4x)' = e^{-4x} \cdot (-4) = -4e^{-4x}$.
Ответ: $-4e^{-4x}$.

в) Для функции $f(x) = e^{2x+1}$ снова используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Внутренняя функция $u(x) = 2x+1$, её производная $u'(x) = (2x+1)' = 2$.
Находим производную:
$f'(x) = (e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.
Ответ: $2e^{2x+1}$.

г) Для функции $f(x) = e^{-2x+7}$ применяем правило $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = -2x+7$, а $u'(x) = (-2x+7)' = -2$.
Следовательно:
$f'(x) = (e^{-2x+7})' = e^{-2x+7} \cdot (-2x+7)' = e^{-2x+7} \cdot (-2) = -2e^{-2x+7}$.
Ответ: $-2e^{-2x+7}$.

д) Для нахождения производной функции $f(x) = 2^{5x}$ используется общая формула для производной сложной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
В этом случае основание $a=2$, а показатель $u(x) = 5x$. Производная показателя $u'(x) = (5x)' = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$f'(x) = (2^{5x})' = 2^{5x} \ln 2 \cdot (5x)' = 2^{5x} \ln 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2^{5x} \ln 2$.
Ответ: $5 \cdot 2^{5x} \ln 2$.

е) Для функции $f(x) = 6^{-3x}$ используем ту же формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=6$, $u(x) = -3x$, и $u'(x) = (-3x)' = -3$.
Вычисляем производную:
$f'(x) = (6^{-3x})' = 6^{-3x} \ln 6 \cdot (-3x)' = 6^{-3x} \ln 6 \cdot (-3) = -3 \cdot 6^{-3x} \ln 6$.
Ответ: $-3 \cdot 6^{-3x} \ln 6$.

ж) Для функции $f(x) = 4^{3x-8}$ применяем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=4$, $u(x) = 3x-8$, и $u'(x) = (3x-8)' = 3$.
Находим производную:
$f'(x) = (4^{3x-8})' = 4^{3x-8} \ln 4 \cdot (3x-8)' = 4^{3x-8} \ln 4 \cdot 3 = 3 \cdot 4^{3x-8} \ln 4$.
Ответ: $3 \cdot 4^{3x-8} \ln 4$.

з) Для функции $f(x) = 5^{-4x+1}$ используем формулу $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
В данном случае $a=5$, $u(x) = -4x+1$, и $u'(x) = (-4x+1)' = -4$.
Производная равна:
$f'(x) = (5^{-4x+1})' = 5^{-4x+1} \ln 5 \cdot (-4x+1)' = 5^{-4x+1} \ln 5 \cdot (-4) = -4 \cdot 5^{-4x+1} \ln 5$.
Ответ: $-4 \cdot 5^{-4x+1} \ln 5$.

и) Для функции $f(x) = 2^{-0.5x-2}$ применяем правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
Здесь $a=2$, $u(x) = -0.5x-2$, и $u'(x) = (-0.5x-2)' = -0.5$.
Вычисляем производную:
$f'(x) = (2^{-0.5x-2})' = 2^{-0.5x-2} \ln 2 \cdot (-0.5x-2)' = 2^{-0.5x-2} \ln 2 \cdot (-0.5) = -0.5 \cdot 2^{-0.5x-2} \ln 2$.
Ответ: $-0.5 \cdot 2^{-0.5x-2} \ln 2$.

4.54* a) $f(x) = e^{x^3};$
б) $f(x) = e^{-x^4};$
в) $f(x) = 3^{x^3};$
г) $f(x) = 5^{-x^4};$
д) $f(x) = e^{\sin x};$
е) $f(x) = 9^{\cos x}.$

Для нахождения производных заданных функций мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: если $h(x) = g(f(x))$, то $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. Также нам понадобятся формулы производных показательной функции:

• $(e^u)' = e^u \cdot u'$
• $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$

а) f(x) = $e^{x^3}$

Это сложная функция, где внешняя функция — это экспонента, а внутренняя — степенная функция $u(x) = x^3$.

Применим цепное правило: $f'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)'$

Находим производную внутренней функции: $(x^3)' = 3x^2$.

Подставляем результат в выражение для производной:

$f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 e^{x^3}$

б) f(x) = $e^{-x^4}$

Данная функция является сложной. Внешняя функция — $e^u$, внутренняя — $u(x) = -x^4$.

По цепному правилу, производная равна произведению производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции:

$f'(x) = (e^{-x^4})' = e^{-x^4} \cdot (-x^4)'$

Производная внутренней функции: $(-x^4)' = -4x^3$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4}$

Ответ: $f'(x) = -4x^3 e^{-x^4}$

в) f(x) = $3^{x^3}$

Это сложная показательная функция вида $a^{u(x)}$ с основанием $a=3$ и показателем $u(x) = x^3$.

Воспользуемся формулой $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (3^{x^3})' = 3^{x^3} \ln(3) \cdot (x^3)'$

Производная показателя: $(x^3)' = 3x^2$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 3^{x^3} \ln(3) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 \cdot 3^{x^3} \ln(3)$

г) f(x) = $5^{-x^4}$

Это сложная показательная функция, где $a=5$ и $u(x) = -x^4$.

Применяем формулу для производной показательной функции и цепное правило:

$f'(x) = (5^{-x^4})' = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-x^4)'$

Находим производную показателя степени: $(-x^4)' = -4x^3$.

Подставляем и получаем конечный результат:

$f'(x) = 5^{-x^4} \ln(5) \cdot (-4x^3) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$

Ответ: $f'(x) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \ln(5)$

д) f(x) = $e^{\sin x}$

Это сложная функция, где внешняя функция — $e^u$, а внутренняя — $u(x) = \sin x$.

Используем цепное правило:

$f'(x) = (e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)'$

Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x = \cos x \cdot e^{\sin x}$

Ответ: $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$

е) f(x) = $9^{\cos x}$

Это сложная показательная функция с основанием $a=9$ и показателем $u(x) = \cos x$.

Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (9^{\cos x})' = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (\cos x)'$

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем:

$f'(x) = 9^{\cos x} \ln(9) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \ln(9)$

Можно упростить логарифм: $\ln(9) = \ln(3^2) = 2\ln(3)$.

$f'(x) = -\sin x \cdot 9^{\cos x} \cdot 2\ln(3) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$

Ответ: $f'(x) = -2\ln(3) \sin x \cdot 9^{\cos x}$

4.55 a) $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x;$

Б) $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x);$

В) $f(x) = \ln(2x);$

Г) $f(x) = \ln(5x - 10).$

а) Дана функция $f(x) = \log_4(12x) - \log_2 x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$12x > 0 \implies x > 0$$x > 0$Следовательно, ОДЗ функции: $x \in (0, +\infty)$.

Для нахождения производной приведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.

$\log_4(12x) = \frac{\log_2(12x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(12x)}{2}$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(12x) - \log_2 x$

Теперь применим свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$f(x) = \frac{1}{2}(\log_2 12 + \log_2 x) - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 + \frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 x = \frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x$

Теперь можем найти производную. Производная от константы $\frac{1}{2}\log_2 12$ равна нулю. Для нахождения производной от $\log_2 x$ используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 x\right)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{1}{2x \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2x \ln 2}$

б) Дана функция $f(x) = \log_4(-x) + \log_2(-x)$.

ОДЗ: аргумент логарифма $-x$ должен быть положительным, то есть $-x > 0$, что означает $x < 0$.

Приведем логарифмы к общему основанию 2:

$\log_4(-x) = \frac{\log_2(-x)}{\log_2 4} = \frac{1}{2}\log_2(-x)$

Подставим в функцию и упростим выражение:

$f(x) = \frac{1}{2}\log_2(-x) + \log_2(-x) = \left(\frac{1}{2} + 1\right)\log_2(-x) = \frac{3}{2}\log_2(-x)$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть $u = -x$, тогда $u' = -1$. Формула производной: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot (\log_2(-x))' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-x \cdot \ln 2} \cdot (-x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{-1}{-x \ln 2} = \frac{3}{2x \ln 2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2x \ln 2}$

в) Дана функция $f(x) = \ln(2x)$.

ОДЗ: $2x > 0 \implies x > 0$.

Способ 1: Использование цепного правила. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

$f'(x) = (\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

Способ 2: Использование свойств логарифма.

$f(x) = \ln(2x) = \ln 2 + \ln x$

Производная от константы $\ln 2$ равна нулю.

$f'(x) = (\ln 2 + \ln x)' = 0 + (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$

г) Дана функция $f(x) = \ln(5x - 10)$.

ОДЗ: $5x - 10 > 0 \implies 5x > 10 \implies x > 2$.

Способ 1: Использование цепного правила. Пусть $u = 5x - 10$, тогда $u' = 5$.

$f'(x) = (\ln(5x - 10))' = \frac{1}{5x - 10} \cdot (5x - 10)' = \frac{1}{5x - 10} \cdot 5 = \frac{5}{5(x - 2)} = \frac{1}{x-2}$

Способ 2: Использование свойств логарифма.

$f(x) = \ln(5(x-2)) = \ln 5 + \ln(x-2)$

Находим производную. Производная от константы $\ln 5$ равна нулю. Для $\ln(x-2)$ используем цепное правило.

$f'(x) = (\ln 5 + \ln(x-2))' = 0 + \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{x-2} \cdot 1 = \frac{1}{x-2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x-2}$

4.56* a) $f(x) = (\cos x)^4 - (\sin x)^4$;

Б) $f(x) = 4 \cos 17x \cos 13x$;

В) $f(x) = 5 \sin 10x \cos 8x$;

Г) $f(x) = 6 \sin 7x \sin 3x$.

а)

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = (\cos x)^4 - (\sin x)^4$, сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае мы можем представить выражение как $((\cos x)^2)^2 - ((\sin x)^2)^2$.

$f(x) = ((\cos x)^2 - (\sin x)^2)((\cos x)^2 + (\sin x)^2)$

Применим два основных тригонометрических тождества:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

2. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставляя эти тождества в наше выражение, получаем:

$f(x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)$

Теперь найти производную от упрощенной функции гораздо проще. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$

Ответ: $f'(x) = -2\sin(2x)$

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = 4 \cos 17x \cos 13x$, преобразуем произведение косинусов в сумму с помощью тригонометрической формулы:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 17x$ и $\beta = 13x$.

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(17x - 13x) + \cos(17x + 13x)) = 2(\cos(4x) + \cos(30x))$

$f(x) = 2\cos(4x) + 2\cos(30x)$

Теперь дифференцируем полученную сумму функций:

$f'(x) = (2\cos(4x) + 2\cos(30x))' = (2\cos(4x))' + (2\cos(30x))'$

$f'(x) = 2(-\sin(4x)) \cdot (4x)' + 2(-\sin(30x)) \cdot (30x)'$

$f'(x) = -2\sin(4x) \cdot 4 - 2\sin(30x) \cdot 30 = -8\sin(4x) - 60\sin(30x)$

Ответ: $f'(x) = -8\sin(4x) - 60\sin(30x)$

в)

Для нахождения производной функции $f(x) = 5 \sin 10x \cos 8x$, преобразуем произведение синуса на косинус в сумму с помощью тригонометрической формулы:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае $\alpha = 10x$ и $\beta = 8x$.

$f(x) = 5 \cdot \frac{1}{2}(\sin(10x + 8x) + \sin(10x - 8x)) = \frac{5}{2}(\sin(18x) + \sin(2x))$

$f(x) = \frac{5}{2}\sin(18x) + \frac{5}{2}\sin(2x)$

Теперь дифференцируем полученную сумму функций:

$f'(x) = (\frac{5}{2}\sin(18x) + \frac{5}{2}\sin(2x))' = (\frac{5}{2}\sin(18x))' + (\frac{5}{2}\sin(2x))'$

$f'(x) = \frac{5}{2}\cos(18x) \cdot (18x)' + \frac{5}{2}\cos(2x) \cdot (2x)'$

$f'(x) = \frac{5}{2}\cos(18x) \cdot 18 + \frac{5}{2}\cos(2x) \cdot 2 = 45\cos(18x) + 5\cos(2x)$

Ответ: $f'(x) = 45\cos(18x) + 5\cos(2x)$

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = 6 \sin 7x \sin 3x$, преобразуем произведение синусов в разность с помощью тригонометрической формулы:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$.

$f(x) = 6 \cdot \frac{1}{2}(\cos(7x - 3x) - \cos(7x + 3x)) = 3(\cos(4x) - \cos(10x))$

$f(x) = 3\cos(4x) - 3\cos(10x)$

Теперь дифференцируем полученную разность функций:

$f'(x) = (3\cos(4x) - 3\cos(10x))' = (3\cos(4x))' - (3\cos(10x))'$

$f'(x) = 3(-\sin(4x)) \cdot (4x)' - 3(-\sin(10x)) \cdot (10x)'$

$f'(x) = -3\sin(4x) \cdot 4 + 3\sin(10x) \cdot 10 = -12\sin(4x) + 30\sin(10x)$

Ответ: $f'(x) = 30\sin(10x) - 12\sin(4x)$

4.57 a) $f(x) = \sin 2x;$

B) $f(x) = \tan (2x - 3);$

б) $f(x) = \cos (3x + 1);$

г) $f(x) = \cot (-5x).$

а) Для нахождения наименьшего положительного периода функции используется общая формула. Период функции $y = \sin(x)$ равен $2\pi$. Для функции вида $f(x) = A\sin(kx + b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \sin(2x)$, коэффициент при $x$ равен $k=2$. Подставляя это значение в формулу, получаем период: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

б) Период функции $y = \cos(x)$ равен $2\pi$. Для функции вида $f(x) = A\cos(kx + b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \cos(3x+1)$, коэффициент при $x$ равен $k=3$. Сдвиг по фазе $b=1$ не влияет на значение периода. Подставляя значение $k$ в формулу, получаем период: $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в) В задании используется обозначение $\text{tg}$ для тангенса. Период функции $y = \tan(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $f(x) = A\tan(kx + b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \tan(2x-3)$, коэффициент при $x$ равен $k=2$. Сдвиг по фазе $b=-3$ не влияет на значение периода. Подставляя значение $k$ в формулу, получаем период: $T = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) В задании используется обозначение $\text{ctg}$ для котангенса. Период функции $y = \cot(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $f(x) = A\cot(kx + b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае, для функции $f(x) = \cot(-5x)$, коэффициент при $x$ равен $k=-5$. Подставляя значение $k$ в формулу, получаем период: $T = \frac{\pi}{|-5|} = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

4.58* a) $f(x) = \sin (x^2)$;

В) $f(x) = \operatorname{tg} (x^3)$;

Д) $f(x) = (\sin x)^2$;

Ж) $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$;

б) $f(x) = \cos (x^4)$;

Г) $f(x) = \operatorname{ctg} (x^5)$;

е) $f(x) = (\cos x)^4$;

з) $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.

а) Дана функция $f(x) = \sin(x^2)$.

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — $g(u) = \sin u$, а внутренняя функция — $h(x) = x^2$.

Находим производные этих функций:

$g'(u) = (\sin u)' = \cos u$

$h'(x) = (x^2)' = 2x$

Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$.

Ответ: $f'(x) = 2x \cos(x^2)$.

б) Дана функция $f(x) = \cos(x^4)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция $g(u) = \cos u$ и внутренняя $h(x) = x^4$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\cos u)' = -\sin u$

$h'(x) = (x^4)' = 4x^3$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.

Ответ: $f'(x) = -4x^3 \sin(x^4)$.

в) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}(x^3)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя $h(x) = x^3$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$

$h'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot (x^3)' = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}(x^5)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{ctg} u$, внутренняя $h(x) = x^5$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$

$h'(x) = (x^5)' = 5x^4$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot (x^5)' = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot 5x^4 = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.

д) Дана функция $f(x) = (\sin x)^2$.

Это также сложная функция, где внешняя функция — степенная $g(u) = u^2$, а внутренняя — тригонометрическая $h(x) = \sin x$. Применяем цепное правило.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^2)' = 2u$

$h'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 2(\sin x) \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, можно упростить ответ: $f'(x) = \sin(2x)$.

Ответ: $f'(x) = 2 \sin x \cos x$ (или $f'(x) = \sin(2x)$).

е) Дана функция $f(x) = (\cos x)^4$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^4$, внутренняя $h(x) = \cos x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^4)' = 4u^3$

$h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 4(\cos x)^{4-1} \cdot (\cos x)' = 4 \cos^3 x \cdot (-\sin x) = -4 \cos^3 x \sin x$.

Ответ: $f'(x) = -4 \cos^3 x \sin x$.

ж) Дана функция $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^3$, внутренняя $h(x) = \operatorname{tg} x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^3)' = 3u^2$

$h'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 3(\operatorname{tg} x)^{3-1} \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

з) Дана функция $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^5$, внутренняя $h(x) = \operatorname{ctg} x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^5)' = 5u^4$

$h'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 5(\operatorname{ctg} x)^{5-1} \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg}^4 x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.

4.59 a) $f(x) = \ln (3x);$

б) $f(x) = \ln (5 - 2x);$

в) $f(x) = \log_{5} (-3x - 1);$

г) $f(x) = \lg (2x + 4).$

а) $f(x) = \ln(3x)$

Для нахождения производной данной функции используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Также нам понадобится формула производной натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

В данном случае, внешняя функция — это натуральный логарифм $\ln(u)$, а внутренняя функция — $u(x) = 3x$.

Производная внешней функции по ее аргументу $u$: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.

Производная внутренней функции по $x$: $(3x)' = 3$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = (\ln(3x))' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x}$.

б) $f(x) = \ln(5 - 2x)$

Аналогично предыдущему пункту, используем цепное правило. Внешняя функция — $\ln(u)$, внутренняя функция — $u(x) = 5 - 2x$.

Производная внутренней функции:

$(5 - 2x)' = (5)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.

Собираем производную сложной функции:

$f'(x) = (\ln(5 - 2x))' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{5 - 2x} \cdot (-2) = -\frac{2}{5 - 2x} = \frac{2}{-(5 - 2x)} = \frac{2}{2x - 5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{2x - 5}$.

в) $f(x) = \log_5(-3x - 1)$

Здесь используется производная логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$.

Это также сложная функция. Внешняя функция — $\log_5(u)$, внутренняя функция — $u(x) = -3x - 1$. Основание логарифма $a=5$.

Производная внутренней функции:

$(-3x - 1)' = (-3x)' - (1)' = -3 - 0 = -3$.

Применяем формулу для производной сложной логарифмической функции:

$f'(x) = (\log_5(-3x - 1))' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3x - 1)' = \frac{1}{(-3x - 1)\ln 5} \cdot (-3) = \frac{-3}{(-3x - 1)\ln 5} = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{(3x + 1)\ln 5}$.

г) $f(x) = \lg(2x + 4)$

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, $f(x) = \log_{10}(2x + 4)$.

Используем ту же формулу, что и в пункте в), с основанием $a=10$. Внутренняя функция $u(x) = 2x + 4$.

Производная внутренней функции:

$(2x + 4)' = (2x)' + (4)' = 2 + 0 = 2$.

Находим производную исходной функции:

$f'(x) = (\lg(2x + 4))' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot (2x + 4)' = \frac{1}{(2x + 4)\ln 10} \cdot 2 = \frac{2}{2(x + 2)\ln 10} = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{(x + 2)\ln 10}$.

4.60 a) $f(x) = (2x + 1)^8$;

B) $f(x) = (4x - 3)^{10}$;

б) $f(x) = (-2x - 3)^9$;

Г) $f(x) = (3x + 4)^{25}$.

а)

Для нахождения производной функции $f(x) = (2x + 1)^8$ мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Формула производной сложной функции: $(h(g(x)))' = h'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $h(u) = u^8$ и внутренняя функция $g(x) = 2x + 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^8)' = 8u^{8-1} = 8u^7$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

Теперь подставим все в формулу производной сложной функции, заменив $u$ на $2x+1$:

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) = 8(2x + 1)^7 \cdot 2$.

$f'(x) = 16(2x + 1)^7$.

Ответ: $f'(x) = 16(2x + 1)^7$.

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = (-2x - 3)^9$ используем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^9$. Внутренняя функция: $g(x) = -2x - 3$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^9)' = 9u^8$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (-2x - 3)' = -2$.

Подставляем в формулу для производной сложной функции $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 9(-2x - 3)^8 \cdot (-2)$.

$f'(x) = -18(-2x - 3)^8$.

Ответ: $f'(x) = -18(-2x - 3)^8$.

в)

Для нахождения производной функции $f(x) = (4x - 3)^{10}$ применяем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^{10}$. Внутренняя функция: $g(x) = 4x - 3$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^{10})' = 10u^9$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x - 3)' = 4$.

Собираем производную сложной функции по формуле $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 10(4x - 3)^9 \cdot 4$.

$f'(x) = 40(4x - 3)^9$.

Ответ: $f'(x) = 40(4x - 3)^9$.

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = (3x + 4)^{25}$ используем цепное правило.

Внешняя функция: $h(u) = u^{25}$. Внутренняя функция: $g(x) = 3x + 4$.

Производная внешней функции: $h'(u) = (u^{25})' = 25u^{24}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x + 4)' = 3$.

Подставляем найденные производные в формулу $f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$f'(x) = 25(3x + 4)^{24} \cdot 3$.

$f'(x) = 75(3x + 4)^{24}$.

Ответ: $f'(x) = 75(3x + 4)^{24}$.

4.61 Запишите формулу для вычисления производной функции $y = x^{\alpha}$, $\alpha$ — нецелое число. При каких значениях $x$ справедлива эта формула?

Запишите формулу для вычисления производной функции $y = x^{\alpha}$, $\alpha$ — нецелое число.

Формула для вычисления производной степенной функции $y = x^\alpha$, также известная как "степенное правило", имеет следующий вид:

$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

Эта формула является обобщением правила дифференцирования для натуральных показателей и верна для любого действительного показателя степени $\alpha$.

Ответ: $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

При каких значениях $x$ справедлива эта формула?

Чтобы определить, при каких значениях $x$ справедлива данная формула, необходимо рассмотреть область определения функции $y = x^\alpha$, когда $\alpha$ является нецелым числом.

Для произвольного действительного (в том числе нецелого или иррационального) показателя $\alpha$, степенная функция $y = x^\alpha$ определяется через основное логарифмическое тождество с использованием экспоненты и натурального логарифма:

$x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$

Функция натурального логарифма $\ln x$ определена только для положительных значений своего аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, область определения функции $y=x^\alpha$ для общего случая нецелого $\alpha$ — это интервал $(0, +\infty)$.

Функция может быть дифференцируема только в тех точках, где она определена. Поскольку и сама функция $y = x^\alpha$, и выражение для её производной $y' = \alpha x^{\alpha-1}$ определены на интервале $(0, +\infty)$, то и формула для производной справедлива на этом же интервале.

Ответ: Формула справедлива при $x > 0$.