Номер 4.56, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.56, страница 110.

Условие.

4.56* a) $f(x) = (\cos x)^4 - (\sin x)^4$;

Б) $f(x) = 4 \cos 17x \cos 13x$;

В) $f(x) = 5 \sin 10x \cos 8x$;

Г) $f(x) = 6 \sin 7x \sin 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = (\cos x)^4 - (\sin x)^4$, сначала упростим данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае мы можем представить выражение как $((\cos x)^2)^2 - ((\sin x)^2)^2$.

$f(x) = ((\cos x)^2 - (\sin x)^2)((\cos x)^2 + (\sin x)^2)$

Применим два основных тригонометрических тождества:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

2. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставляя эти тождества в наше выражение, получаем:

$f(x) = \cos(2x) \cdot 1 = \cos(2x)$

Теперь найти производную от упрощенной функции гораздо проще. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$

Ответ: $f'(x) = -2\sin(2x)$

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = 4 \cos 17x \cos 13x$, преобразуем произведение косинусов в сумму с помощью тригонометрической формулы:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 17x$ и $\beta = 13x$.

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(17x - 13x) + \cos(17x + 13x)) = 2(\cos(4x) + \cos(30x))$

$f(x) = 2\cos(4x) + 2\cos(30x)$

Теперь дифференцируем полученную сумму функций:

$f'(x) = (2\cos(4x) + 2\cos(30x))' = (2\cos(4x))' + (2\cos(30x))'$

$f'(x) = 2(-\sin(4x)) \cdot (4x)' + 2(-\sin(30x)) \cdot (30x)'$

$f'(x) = -2\sin(4x) \cdot 4 - 2\sin(30x) \cdot 30 = -8\sin(4x) - 60\sin(30x)$

Ответ: $f'(x) = -8\sin(4x) - 60\sin(30x)$

в)

Для нахождения производной функции $f(x) = 5 \sin 10x \cos 8x$, преобразуем произведение синуса на косинус в сумму с помощью тригонометрической формулы:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае $\alpha = 10x$ и $\beta = 8x$.

$f(x) = 5 \cdot \frac{1}{2}(\sin(10x + 8x) + \sin(10x - 8x)) = \frac{5}{2}(\sin(18x) + \sin(2x))$

$f(x) = \frac{5}{2}\sin(18x) + \frac{5}{2}\sin(2x)$

Теперь дифференцируем полученную сумму функций:

$f'(x) = (\frac{5}{2}\sin(18x) + \frac{5}{2}\sin(2x))' = (\frac{5}{2}\sin(18x))' + (\frac{5}{2}\sin(2x))'$

$f'(x) = \frac{5}{2}\cos(18x) \cdot (18x)' + \frac{5}{2}\cos(2x) \cdot (2x)'$

$f'(x) = \frac{5}{2}\cos(18x) \cdot 18 + \frac{5}{2}\cos(2x) \cdot 2 = 45\cos(18x) + 5\cos(2x)$

Ответ: $f'(x) = 45\cos(18x) + 5\cos(2x)$

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = 6 \sin 7x \sin 3x$, преобразуем произведение синусов в разность с помощью тригонометрической формулы:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$.

$f(x) = 6 \cdot \frac{1}{2}(\cos(7x - 3x) - \cos(7x + 3x)) = 3(\cos(4x) - \cos(10x))$

$f(x) = 3\cos(4x) - 3\cos(10x)$

Теперь дифференцируем полученную разность функций:

$f'(x) = (3\cos(4x) - 3\cos(10x))' = (3\cos(4x))' - (3\cos(10x))'$

$f'(x) = 3(-\sin(4x)) \cdot (4x)' - 3(-\sin(10x)) \cdot (10x)'$

$f'(x) = -3\sin(4x) \cdot 4 + 3\sin(10x) \cdot 10 = -12\sin(4x) + 30\sin(10x)$

Ответ: $f'(x) = 30\sin(10x) - 12\sin(4x)$