Номер 4.52, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.52, страница 110.

Условие.

Укажите, при каких значениях x функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.52—4.60):

4.52 а) $f(x) = \pi^x + e^x;$

б) $f(x) = x^e - x^\pi;$

в) $f(x) = \pi^x + x^\pi;$

г) $f(x) = x^e - e^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Функция $f(x) = \pi^x + e^x$ представляет собой сумму двух показательных функций. Функция $y_1(x) = \pi^x$ (показательная функция с основанием $\pi > 0, \pi \neq 1$) определена и дифференцируема для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Ее производная равна $(\pi^x)' = \pi^x \ln \pi$. Функция $y_2(x) = e^x$ (показательная функция с основанием $e$) также определена и дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Ее производная равна $(e^x)' = e^x$. Так как оба слагаемых дифференцируемы на всей числовой прямой, их сумма также дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем производную, используя правило дифференцирования суммы: $f'(x) = (\pi^x + e^x)' = (\pi^x)' + (e^x)' = \pi^x \ln \pi + e^x$. Функция имеет производную при всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $f'(x) = \pi^x \ln \pi + e^x$.

б) Функция $f(x) = x^e - x^\pi$ представляет собой разность двух степенных функций с иррациональными показателями. Степенная функция $y(x) = x^a$ с иррациональным показателем $a$ определена и дифференцируема для всех $x > 0$. В данном случае оба слагаемых $y_1(x) = x^e$ (показатель $e \approx 2.718$) и $y_2(x) = x^\pi$ (показатель $\pi \approx 3.141$) определены и дифференцируемы при $x > 0$. Следовательно, их разность также дифференцируема при $x > 0$. Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$: $f'(x) = (x^e - x^\pi)' = (x^e)' - (x^\pi)' = ex^{e-1} - \pi x^{\pi-1}$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = ex^{e-1} - \pi x^{\pi-1}$.

в) Функция $f(x) = \pi^x + x^\pi$ является суммой показательной и степенной функций. Слагаемое $y_1(x) = \pi^x$ является показательной функцией, которая дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Слагаемое $y_2(x) = x^\pi$ является степенной функцией с иррациональным показателем $\pi$, которая дифференцируема для всех $x > 0$. Сумма этих функций будет дифференцируема на пересечении их областей дифференцируемости, то есть при $x > 0$. Найдем производную, используя соответствующие правила: $f'(x) = (\pi^x + x^\pi)' = (\pi^x)' + (x^\pi)' = \pi^x \ln \pi + \pi x^{\pi-1}$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = \pi^x \ln \pi + \pi x^{\pi-1}$.

г) Функция $f(x) = x^e - e^x$ является разностью степенной и показательной функций. Функция $y_1(x) = x^e$ является степенной функцией с иррациональным показателем $e$ и дифференцируема при $x > 0$. Функция $y_2(x) = e^x$ является показательной функцией и дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Разность этих функций будет дифференцируема на пересечении их областей дифференцируемости, то есть при $x > 0$. Найдем производную, используя соответствующие правила: $f'(x) = (x^e - e^x)' = (x^e)' - (e^x)' = ex^{e-1} - e^x$. Функция имеет производную при всех $x > 0$.
Ответ: $f'(x) = ex^{e-1} - e^x$.