Номер 4.58, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.58, страница 110.

Условие.

4.58* a) $f(x) = \sin (x^2)$;

В) $f(x) = \operatorname{tg} (x^3)$;

Д) $f(x) = (\sin x)^2$;

Ж) $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$;

б) $f(x) = \cos (x^4)$;

Г) $f(x) = \operatorname{ctg} (x^5)$;

е) $f(x) = (\cos x)^4$;

з) $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = \sin(x^2)$.

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — $g(u) = \sin u$, а внутренняя функция — $h(x) = x^2$.

Находим производные этих функций:

$g'(u) = (\sin u)' = \cos u$

$h'(x) = (x^2)' = 2x$

Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$.

Ответ: $f'(x) = 2x \cos(x^2)$.

б) Дана функция $f(x) = \cos(x^4)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция $g(u) = \cos u$ и внутренняя $h(x) = x^4$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\cos u)' = -\sin u$

$h'(x) = (x^4)' = 4x^3$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.

Ответ: $f'(x) = -4x^3 \sin(x^4)$.

в) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}(x^3)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя $h(x) = x^3$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$

$h'(x) = (x^3)' = 3x^2$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot (x^3)' = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.

г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}(x^5)$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{ctg} u$, внутренняя $h(x) = x^5$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$

$h'(x) = (x^5)' = 5x^4$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot (x^5)' = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot 5x^4 = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.

д) Дана функция $f(x) = (\sin x)^2$.

Это также сложная функция, где внешняя функция — степенная $g(u) = u^2$, а внутренняя — тригонометрическая $h(x) = \sin x$. Применяем цепное правило.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^2)' = 2u$

$h'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 2(\sin x) \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, можно упростить ответ: $f'(x) = \sin(2x)$.

Ответ: $f'(x) = 2 \sin x \cos x$ (или $f'(x) = \sin(2x)$).

е) Дана функция $f(x) = (\cos x)^4$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^4$, внутренняя $h(x) = \cos x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^4)' = 4u^3$

$h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 4(\cos x)^{4-1} \cdot (\cos x)' = 4 \cos^3 x \cdot (-\sin x) = -4 \cos^3 x \sin x$.

Ответ: $f'(x) = -4 \cos^3 x \sin x$.

ж) Дана функция $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^3$, внутренняя $h(x) = \operatorname{tg} x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^3)' = 3u^2$

$h'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 3(\operatorname{tg} x)^{3-1} \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

з) Дана функция $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^5$, внутренняя $h(x) = \operatorname{ctg} x$.

Производные этих функций:

$g'(u) = (u^5)' = 5u^4$

$h'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Следовательно, производная исходной функции:

$f'(x) = 5(\operatorname{ctg} x)^{5-1} \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg}^4 x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.