Номер 4.58, страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.58, страница 110.
№4.58 (с. 110)
Условие. №4.58 (с. 110)
скриншот условия

4.58* a) $f(x) = \sin (x^2)$;
В) $f(x) = \operatorname{tg} (x^3)$;
Д) $f(x) = (\sin x)^2$;
Ж) $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$;
б) $f(x) = \cos (x^4)$;
Г) $f(x) = \operatorname{ctg} (x^5)$;
е) $f(x) = (\cos x)^4$;
з) $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.
Решение 1. №4.58 (с. 110)








Решение 2. №4.58 (с. 110)

Решение 4. №4.58 (с. 110)
а) Дана функция $f(x) = \sin(x^2)$.
Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — $g(u) = \sin u$, а внутренняя функция — $h(x) = x^2$.
Находим производные этих функций:
$g'(u) = (\sin u)' = \cos u$
$h'(x) = (x^2)' = 2x$
Теперь подставляем всё в формулу производной сложной функции:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$.
Ответ: $f'(x) = 2x \cos(x^2)$.
б) Дана функция $f(x) = \cos(x^4)$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция $g(u) = \cos u$ и внутренняя $h(x) = x^4$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (\cos u)' = -\sin u$
$h'(x) = (x^4)' = 4x^3$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.
Ответ: $f'(x) = -4x^3 \sin(x^4)$.
в) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}(x^3)$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{tg} u$, внутренняя $h(x) = x^3$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (\operatorname{tg} u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$
$h'(x) = (x^3)' = 3x^2$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot (x^3)' = \frac{1}{\cos^2(x^3)} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$.
г) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}(x^5)$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \operatorname{ctg} u$, внутренняя $h(x) = x^5$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (\operatorname{ctg} u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$
$h'(x) = (x^5)' = 5x^4$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot (x^5)' = -\frac{1}{\sin^2(x^5)} \cdot 5x^4 = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$.
д) Дана функция $f(x) = (\sin x)^2$.
Это также сложная функция, где внешняя функция — степенная $g(u) = u^2$, а внутренняя — тригонометрическая $h(x) = \sin x$. Применяем цепное правило.
Производные этих функций:
$g'(u) = (u^2)' = 2u$
$h'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 2(\sin x) \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, можно упростить ответ: $f'(x) = \sin(2x)$.
Ответ: $f'(x) = 2 \sin x \cos x$ (или $f'(x) = \sin(2x)$).
е) Дана функция $f(x) = (\cos x)^4$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^4$, внутренняя $h(x) = \cos x$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (u^4)' = 4u^3$
$h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = 4(\cos x)^{4-1} \cdot (\cos x)' = 4 \cos^3 x \cdot (-\sin x) = -4 \cos^3 x \sin x$.
Ответ: $f'(x) = -4 \cos^3 x \sin x$.
ж) Дана функция $f(x) = (\operatorname{tg} x)^3$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^3$, внутренняя $h(x) = \operatorname{tg} x$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (u^3)' = 3u^2$
$h'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = 3(\operatorname{tg} x)^{3-1} \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.
з) Дана функция $f(x) = (\operatorname{ctg} x)^5$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $g(u) = u^5$, внутренняя $h(x) = \operatorname{ctg} x$.
Производные этих функций:
$g'(u) = (u^5)' = 5u^4$
$h'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Следовательно, производная исходной функции:
$f'(x) = 5(\operatorname{ctg} x)^{5-1} \cdot (\operatorname{ctg} x)' = 5 \operatorname{ctg}^4 x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{5 \operatorname{ctg}^4 x}{\sin^2 x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.58 расположенного на странице 110 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.58 (с. 110), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.