Номер 4.64, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.64, страница 111.

Условие.

4.64* a) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 10};$

б) $f(x) = \sqrt{3x^2 + 5x + 4};$

В) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2};$

Г) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x + 1};$

Д) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9};$

е) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4};$

Ж) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 5};$

з) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 10}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Решим неравенство:

$x^2 - 3x + 10 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 10 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), то парабола $y = x^2 - 3x + 10$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 10$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б)

Для функции $f(x) = \sqrt{3x^2 + 5x + 4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$3x^2 + 5x + 4 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $3x^2 + 5x + 4 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$

Поскольку $D < 0$ и $a = 3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + 5x + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс, и выражение $3x^2 + 5x + 4$ всегда положительно.

Неравенство верно для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

в)

Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 3x + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 2) \ge 0$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции неотрицательны, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.

г)

Для функции $f(x) = \sqrt{4x^2 - 5x + 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4x^2 - 5x + 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 1 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Парабола $y = 4x^2 - 5x + 1$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ не входит в интервал между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty)$.

д)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9}$. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $x^2 - 6x + 9$ является многочленом и определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

е)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 + 4x + 4$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

ж)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 6x + 5}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 - 6x + 5$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

з)

Функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 3}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Подкоренное выражение $x^2 + 4x + 3$ является многочленом, который определен при всех $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.