Номер 4.66, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.66, страница 111.

Условие.

4.66* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция $y = f(x)$ положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения нам необходимо найти производную функции $y = \sqrt{f(x)}$ и сравнить ее знак со знаком производной функции $y = f(x)$.

По условию, на интервале $X$ функция $f(x)$ положительна ($f(x) > 0$) и имеет производную $f'(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{f(x)}$. Это сложная функция, ее производную найдем по цепному правилу (правилу дифференцирования сложной функции): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Применяя это правило к нашей функции, где в качестве $u$ выступает $f(x)$, получаем:

$g'(x) = (\sqrt{f(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$.

Мы получили соотношение между производными двух функций: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

Теперь проанализируем знак производной $(\sqrt{f(x)})'$. По условию задачи, $f(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $X$. Это означает, что корень $\sqrt{f(x)}$ является действительным и положительным числом. Следовательно, весь знаменатель $2\sqrt{f(x)}$ также является положительным числом.

Таким образом, производная $(\sqrt{f(x)})'$ равна производной $f'(x)$, умноженной на положительный коэффициент $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$. Умножение на положительное число не меняет знак, поэтому знак $(\sqrt{f(x)})'$ полностью определяется знаком $f'(x)$:
- Если $f'(x) > 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' > 0$.
- Если $f'(x) < 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' < 0$.
- Если $f'(x) = 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' = 0$.

Поскольку знаки производных $f'(x)$ и $(\sqrt{f(x)})'$ совпадают в каждой точке интервала $X$, то и промежутки, на которых эти производные сохраняют свой знак (промежутки знакопостоянства), будут одинаковыми.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$ совпадают, поскольку производная $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, а множитель $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$ всегда положителен в силу условия $f(x) > 0$, и, следовательно, знак производной $(\sqrt{f(x)})'$ совпадает со знаком производной $f'(x)$.