Номер 4.66, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.66, страница 111.
№4.66 (с. 111)
Условие. №4.66 (с. 111)
скриншот условия

4.66* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция $y = f(x)$ положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$.
Решение 1. №4.66 (с. 111)

Решение 2. №4.66 (с. 111)

Решение 4. №4.66 (с. 111)
Для доказательства данного утверждения нам необходимо найти производную функции $y = \sqrt{f(x)}$ и сравнить ее знак со знаком производной функции $y = f(x)$.
По условию, на интервале $X$ функция $f(x)$ положительна ($f(x) > 0$) и имеет производную $f'(x)$.
Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{f(x)}$. Это сложная функция, ее производную найдем по цепному правилу (правилу дифференцирования сложной функции): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.
Применяя это правило к нашей функции, где в качестве $u$ выступает $f(x)$, получаем:
$g'(x) = (\sqrt{f(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$.
Мы получили соотношение между производными двух функций: $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
Теперь проанализируем знак производной $(\sqrt{f(x)})'$. По условию задачи, $f(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $X$. Это означает, что корень $\sqrt{f(x)}$ является действительным и положительным числом. Следовательно, весь знаменатель $2\sqrt{f(x)}$ также является положительным числом.
Таким образом, производная $(\sqrt{f(x)})'$ равна производной $f'(x)$, умноженной на положительный коэффициент $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$. Умножение на положительное число не меняет знак, поэтому знак $(\sqrt{f(x)})'$ полностью определяется знаком $f'(x)$:
- Если $f'(x) > 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' > 0$.
- Если $f'(x) < 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' < 0$.
- Если $f'(x) = 0$, то и $(\sqrt{f(x)})' = 0$.
Поскольку знаки производных $f'(x)$ и $(\sqrt{f(x)})'$ совпадают в каждой точке интервала $X$, то и промежутки, на которых эти производные сохраняют свой знак (промежутки знакопостоянства), будут одинаковыми.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Промежутки знакопостоянства производных функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{f(x)}$ совпадают, поскольку производная $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, а множитель $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}$ всегда положителен в силу условия $f(x) > 0$, и, следовательно, знак производной $(\sqrt{f(x)})'$ совпадает со знаком производной $f'(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.66 расположенного на странице 111 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.66 (с. 111), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.