Номер 4.68, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.68, страница 111.

Условие.

4.68* Для любого $x > 0$ найдите производную функции:

а) $y = x^x$;

б) $y = x^{\sin x}$;

в) $y = x^{\cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Для нахождения производной функции $y = x^x$ используется метод логарифмического дифференцирования. Этот метод применяется для функций вида $y = [f(x)]^{g(x)}$, где и основание, и показатель зависят от $x$. Условие $x > 0$ гарантирует, что функция определена и мы можем применять логарифмы.

1. Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln y = \ln(x^x)$

2. Используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$ для упрощения правой части:

$\ln y = x \ln x$

3. Теперь дифференцируем обе части по $x$. Левую часть дифференцируем как сложную функцию, а правую — по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$(\ln y)' = (x \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$

4. Выражаем $y'$ (производную), умножая обе части на $y$:

$y' = y (\ln x + 1)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^x$:

$y' = x^x (\ln x + 1)$

Ответ: $y' = x^x(1 + \ln x)$.

б) Найдём производную функции $y = x^{\sin x}$. Так же, как и в предыдущем пункте, применим логарифмическое дифференцирование.

1. Логарифмируем обе части функции:

$\ln y = \ln(x^{\sin x})$

2. Упрощаем правую часть:

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

3. Дифференцируем обе части по $x$, используя правило производной произведения для правой части:

$(\ln y)' = (\sin x \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \cdot \ln x + \sin x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

4. Выражаем $y'$:

$y' = y \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^{\sin x}$:

$y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

Ответ: $y' = x^{\sin x} \left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

в) Найдём производную функции $y = x^{\cos x}$. Метод решения аналогичен предыдущим пунктам.

1. Логарифмируем обе части функции:

$\ln y = \ln(x^{\cos x})$

2. Упрощаем правую часть:

$\ln y = \cos x \cdot \ln x$

3. Дифференцируем обе части по $x$:

$(\ln y)' = (\cos x \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\cos x)' \cdot \ln x + \cos x \cdot (\ln x)'$

$\frac{y'}{y} = -\sin x \cdot \ln x + \cos x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x$

4. Выражаем $y'$:

$y' = y \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$

5. Подставляем исходное выражение для $y = x^{\cos x}$:

$y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$

Ответ: $y' = x^{\cos x} \left(\frac{\cos x}{x} - \sin x \ln x\right)$.