Номер 4.39, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.39, страница 106.

Условие.

4.39 a) $y = 7x^4 - 5x^3 - x + 25;$

В) $y = x^{12} - 5x^8 + 6x^4 - 1;$

б) $y = -x^4 + 8x^2 + 2x - 19;$

г) $y = 12x^5 - 20x^3 - 30x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения производной функции $y = 7x^4 - 5x^3 - x + 25$ необходимо продифференцировать каждое слагаемое, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы.

Найдём производную каждого слагаемого:

• $(7x^4)' = 7 \cdot 4x^{4-1} = 28x^3$
• $(-5x^3)' = -5 \cdot 3x^{3-1} = -15x^2$
• $(-x)' = -1$
• $(25)' = 0$ (производная константы равна нулю)

Сложив полученные результаты, получаем производную всей функции:

$y' = 28x^3 - 15x^2 - 1 + 0 = 28x^3 - 15x^2 - 1$

Ответ: $y' = 28x^3 - 15x^2 - 1$.

б) Дана функция $y = -x^4 + 8x^2 + 2x - 19$. Найдём её производную $y'$, применяя те же правила дифференцирования.

Продифференцируем каждый член многочлена:

• $(-x^4)' = -4x^{4-1} = -4x^3$
• $(8x^2)' = 8 \cdot 2x^{2-1} = 16x$
• $(2x)' = 2$
• $(-19)' = 0$

Суммируя результаты, получаем:

$y' = -4x^3 + 16x + 2 + 0 = -4x^3 + 16x + 2$

Ответ: $y' = -4x^3 + 16x + 2$.

в) Рассмотрим функцию $y = x^{12} - 5x^8 + 6x^4 - 1$. Найдём её производную.

Найдём производную для каждого слагаемого:

• $(x^{12})' = 12x^{12-1} = 12x^{11}$
• $(-5x^8)' = -5 \cdot 8x^{8-1} = -40x^7$
• $(6x^4)' = 6 \cdot 4x^{4-1} = 24x^3$
• $(-1)' = 0$

Объединяем производные слагаемых:

$y' = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3 + 0 = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3$

Ответ: $y' = 12x^{11} - 40x^7 + 24x^3$.

г) Для функции $y = 12x^5 - 20x^3 - 30x^2$ найдём производную.

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

• $(12x^5)' = 12 \cdot 5x^{5-1} = 60x^4$
• $(-20x^3)' = -20 \cdot 3x^{3-1} = -60x^2$
• $(-30x^2)' = -30 \cdot 2x^{2-1} = -60x$

Итоговая производная функции равна сумме производных её слагаемых:

$y' = 60x^4 - 60x^2 - 60x$

Ответ: $y' = 60x^4 - 60x^2 - 60x$.