Номер 4.34, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.34, страница 103.

Условие.

4.34 Вычислите значение производной функции $f(x)$ в указанной точке $x_0$, если:

а) $f(x) = \frac{5}{x^2 + 1}$, $x_0 = 0$;

б) $f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 2}$, $x_0 = 1$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$, $x_0 = -1$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$, $x_0 = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x^2 + 1}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, используем правило дифференцирования частного:
$f'(x) = (\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
В нашем случае, $u(x) = 5$ и $v(x) = x^2 + 1$.
Находим их производные:
$u'(x) = (5)' = 0$
$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-10x}{(x^2 + 1)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-10 \cdot 0}{(0^2 + 1)^2} = \frac{0}{1^2} = 0$.
Ответ: 0.

б) Дана функция $f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 2}$ и точка $x_0 = 1$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = -2x$ и $v(x) = x^2 + 2$.
Находим производные:
$u'(x) = (-2x)' = -2$
$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{-2 \cdot (x^2 + 2) - (-2x) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 4 + 4x^2}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^2 - 4}{(x^2 + 2)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 4}{(1^2 + 2)^2} = \frac{2 - 4}{(1 + 2)^2} = \frac{-2}{3^2} = -\frac{2}{9}$.
Ответ: $-\frac{2}{9}$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$ и точка $x_0 = -1$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 3$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 3) - (x^2 - 1)2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 3)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = \frac{8 \cdot (-1)}{((-1)^2 + 3)^2} = \frac{-8}{(1 + 3)^2} = \frac{-8}{4^2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ и точка $x_0 = -2$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2 - 4$ и $v(x) = x^2 + 4$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 4)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) - (x^2 - 4)2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - (2x^3 - 8x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - 2x^3 + 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{16 \cdot (-2)}{((-2)^2 + 4)^2} = \frac{-32}{(4 + 4)^2} = \frac{-32}{8^2} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.