Номер 4.35, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.35, страница 103.

Условие.

4.35* Дана функция $f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$. Найдите все значения аргумента, при которых:

a) $f'(x) = 0$;

б) $f'(x) > 0$;

в) $f'(x) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Дана функция $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$. Для решения задачи сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Функция представляет собой частное двух функций, поэтому для нахождения производной воспользуемся формулой производной частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 4$ и $v'(x) = 2x$.

Подставим эти выражения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}$

Теперь, имея производную, мы можем найти значения аргумента $x$, удовлетворяющие заданным условиям.

а) $f'(x) = 0$

Необходимо решить уравнение:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда строго положителен при любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Следовательно, приравниваем числитель к нулю:

$4 - 4x^2 = 0$

$4(1 - x^2) = 0$

$1 - x^2 = 0$

$(1 - x)(1 + x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $f'(x) > 0$

Необходимо решить неравенство:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} > 0$

Так как знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$4 - 4x^2 > 0$

$1 - x^2 > 0$

Это квадратное неравенство. Графиком функции $y = 1 - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 1$. Положительные значения функция принимает между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

в) $f'(x) < 0$

Необходимо решить неравенство:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} < 0$

Аналогично предыдущему пункту, знак дроби зависит только от знака числителя:

$4 - 4x^2 < 0$

$1 - x^2 < 0$

Парабола $y = 1 - x^2$ принимает отрицательные значения вне интервала между корнями $x = -1$ и $x = 1$.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.