Номер 4.29, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.29, страница 102.

Условие.

4.29 Из теоремы о производной произведения выведите правило вычисления производной функции $y = Cf(x)$, где $C$ — константа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для вывода правила воспользуемся теоремой о производной произведения двух функций. Теорема гласит, что если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то их произведение $u(x)v(x)$ также дифференцируемо, и его производная находится по формуле:

$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Рассмотрим функцию $y = C \cdot f(x)$, где $C$ — константа. Эту функцию можно представить как произведение двух функций:

$u(x) = C$

$v(x) = f(x)$

Найдем производные этих функций:

1. Производная константы $C$ равна нулю:

$u'(x) = (C)' = 0$

2. Производная функции $f(x)$ по определению равна $f'(x)$:

$v'(x) = (f(x))' = f'(x)$

Теперь подставим эти функции и их производные в формулу для производной произведения:

$y' = (C \cdot f(x))' = (C)' \cdot f(x) + C \cdot (f(x))'$

Подставляя найденные значения производных, получаем:

$y' = 0 \cdot f(x) + C \cdot f'(x)$

Упрощая выражение, имеем:

$y' = 0 + C \cdot f'(x) = C \cdot f'(x)$

Таким образом, мы вывели правило, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Ответ: Правило вычисления производной функции $y=Cf(x)$ имеет вид $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.