Номер 4.22, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.22, страница 98.

Условие.

4.22* Найдите функцию $y = f(x)$, для которой:

а) $f'(x) = 6x;$

б) $f'(x) = x^2 - 1;$

в) $f'(x) = 3x^2 + 2x - 5;$

г) $f'(x) = 6x^2 - 4x + 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения функции $y = f(x)$ по её производной $f'(x)$ необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование. Таким образом, мы ищем первообразную для данной функции. Общий вид первообразной включает в себя произвольную постоянную $C$, так как производная от константы равна нулю.

Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

а)

Дана производная $f'(x) = 6x$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 6x \,dx = 6 \int x^1 \,dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$.

Ответ: $f(x) = 3x^2 + C$.

б)

Дана производная $f'(x) = x^2 - 1$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (x^2 - 1) \,dx = \int x^2 \,dx - \int 1 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - x + C = \frac{x^3}{3} - x + C$.

Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} - x + C$.

в)

Дана производная $f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$.

Находим функцию $f(x)$, используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов):

$f(x) = \int (3x^2 + 2x - 5) \,dx = \int 3x^2 \,dx + \int 2x \,dx - \int 5 \,dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = x^3 + x^2 - 5x + C$.

Ответ: $f(x) = x^3 + x^2 - 5x + C$.

г)

Дана производная $f'(x) = 6x^2 - 4x + 7$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (6x^2 - 4x + 7) \,dx = \int 6x^2 \,dx - \int 4x \,dx + \int 7 \,dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 2x^3 - 2x^2 + 7x + C$.

Ответ: $f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 7x + C$.