Номер 4.19, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.19, страница 98.

Условие.

4.19 a) $y = (x + 3)^2;$

В) $y = (3x + 1)^2;$

Д) $y = (x - 2)^3;$

б) $y = (x - 4)^2;$

Г) $y = (x + 1)^3;$

е) $y = (2x + 3)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных задач необходимо найти производную сложной функции. Мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Если функция имеет вид $y = f(u(x))$, то её производная находится по формуле: $y' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

В данных примерах все функции являются степенными, то есть вида $y = (u(x))^n$. Производная такой функции вычисляется по формуле: $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$, где $u'(x)$ — это производная внутренней функции.

а)

Дана функция $y = (x + 3)^2$.

Здесь внутренняя функция $u(x) = x + 3$, а внешняя — степенная функция $f(u) = u^2$.

1. Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x + 3)' = (x)' + (3)' = 1 + 0 = 1$.

2. Применяем формулу для производной степенной функции, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (x+3)^{2-1} \cdot (x+3)' = 2 \cdot (x+3)^1 \cdot 1 = 2(x+3)$.

Можно раскрыть скобки: $2(x+3) = 2x + 6$.

Ответ: $y' = 2(x+3)$.

б)

Дана функция $y = (x - 4)^2$.

Внутренняя функция $u(x) = x - 4$, внешняя — $f(u) = u^2$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x - 4)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (x-4)^{2-1} \cdot (x-4)' = 2 \cdot (x-4)^1 \cdot 1 = 2(x-4)$.

Раскрывая скобки, получаем: $2x - 8$.

Ответ: $y' = 2(x-4)$.

в)

Дана функция $y = (3x + 1)^2$.

Внутренняя функция $u(x) = 3x + 1$, внешняя — $f(u) = u^2$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x + 1)' = 3$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=2$:

$y' = 2 \cdot (3x+1)^{2-1} \cdot (3x+1)' = 2 \cdot (3x+1)^1 \cdot 3 = 6(3x+1)$.

Раскрывая скобки, получаем: $18x + 6$.

Ответ: $y' = 6(3x+1)$.

г)

Дана функция $y = (x + 1)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = x + 1$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x + 1)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3 \cdot (x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3$.

Ответ: $y' = 3(x+1)^2$.

д)

Дана функция $y = (x - 2)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = x - 2$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (x - 2)' = 1$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (x-2)^{3-1} \cdot (x-2)' = 3 \cdot (x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12$.

Ответ: $y' = 3(x-2)^2$.

е)

Дана функция $y = (2x + 3)^3$.

Внутренняя функция $u(x) = 2x + 3$, внешняя — $f(u) = u^3$.

1. Производная внутренней функции: $u'(x) = (2x + 3)' = 2$.

2. Применяем формулу для производной, где $n=3$:

$y' = 3 \cdot (2x+3)^{3-1} \cdot (2x+3)' = 3 \cdot (2x+3)^2 \cdot 2 = 6(2x+3)^2$.

Можно также раскрыть скобки: $6(4x^2 + 12x + 9) = 24x^2 + 72x + 54$.

Ответ: $y' = 6(2x+3)^2$.