Страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.13 На рисунке 96 изображён график непрерывной функции $y=f(x)$, $x \in (-6; 7)$. Определите знак тангенса угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой:

а) -4;

б) -3;

в) 0;

г) 1;

д) 3;

е) 6.

Рис. 96

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$. Знак этого тангенса можно определить по поведению графика функции:

• Если функция возрастает в точке $x_0$ (график идет вверх), то производная $f'(x_0)$ положительна, и тангенс угла наклона имеет знак "плюс".
• Если функция убывает в точке $x_0$ (график идет вниз), то производная $f'(x_0)$ отрицательна, и тангенс угла наклона имеет знак "минус".
• Если $x_0$ является точкой экстремума (максимума или минимума), то касательная в этой точке горизонтальна, и ее тангенс угла наклона равен нулю, соответственно $f'(x_0) = 0$.

Проанализируем каждую точку с заданной абсциссой:

а) -4

В точке с абсциссой $x = -4$ функция $y=f(x)$ возрастает (график на этом участке поднимается слева направо). Следовательно, производная в этой точке положительна, а значит и тангенс угла наклона касательной положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).

б) -3

В точке с абсциссой $x = -3$ функция $y=f(x)$ также возрастает. Поэтому тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).

в) 0

В точке с абсциссой $x = 0$ функция $y=f(x)$ убывает (график на этом участке опускается слева направо). Следовательно, производная в этой точке отрицательна, и тангенс угла наклона касательной отрицателен.

Ответ: знак "минус" (-).

г) 1

В точке с абсциссой $x = 1$ функция $y=f(x)$ продолжает убывать. Это значит, что тангенс угла наклона касательной в этой точке отрицателен.

Ответ: знак "минус" (-).

д) 3

В точке с абсциссой $x = 3$ на графике видна точка локального минимума. В точках экстремума касательная к графику параллельна оси абсцисс, ее угол наклона равен $0^\circ$. Тангенс такого угла равен нулю ($\text{tg}(0^\circ) = 0$).

Ответ: равен нулю (0).

е) 6

В точке с абсциссой $x = 6$ функция $y=f(x)$ возрастает. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этой точке положителен.

Ответ: знак "плюс" (+).

4.14 В предыдущем задании найдите

значения $x$, при которых:

а) $f'(x) = 0$;

б) $f'(x) > 0$;

в) $f'(x) < 0$.

Поскольку данное задание 4.14 ссылается на предыдущее, которое не предоставлено, мы решим его для гипотетической функции, которая могла быть дана в предыдущем задании. Обычно в таких задачах рассматриваются многочлены. Предположим, что в предыдущем задании была дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$.

Сначала необходимо найти производную этой функции, $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 5)' = 3x^2 - 2 \cdot 6x + 9 = 3x^2 - 12x + 9$.

Теперь мы можем найти значения $x$, при которых выполняются условия из задания, используя найденную производную.

а) $f'(x) = 0$

Нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$. Это позволит найти стационарные (критические) точки функции $f(x)$.

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, разложив левую часть на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем решения:

$x = 1$ или $x = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.

б) $f'(x) > 0$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$. Это позволит найти интервалы, на которых функция $f(x)$ возрастает.

$3x^2 - 12x + 9 > 0$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 3$. Значения функции $y$ положительны там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 1$ или $x > 3$.

Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

в) $f'(x) < 0$

Наконец, решим неравенство $f'(x) < 0$. Это позволит найти интервалы, на которых функция $f(x)$ убывает.

$3x^2 - 12x + 9 < 0$

Снова разделим на 3:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Рассматривая ту же параболу $y = x^2 - 4x + 3$, мы ищем значения $x$, при которых график находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями параболы.

Следовательно, неравенство выполняется при $1 < x < 3$.

Это можно записать в виде интервала: $x \in (1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.