Номер 5.4, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.4, страница 119.

Условие.

5.4* Выполните задание 5.3, если функция определена:

а) на интервале $(-4; 4)$;

б) на полуинтервале $[-4; 4)$;

в) на полуинтервале $(-4; 4]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Поскольку задание 5.3 не предоставлено, в качестве примера для выполнения задания 5.4 возьмем типичную задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Предположим, что в задании 5.3 требовалось исследовать функцию $y = x^3 + 3x^2 - 9x$. В задаче 5.4 необходимо найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанных промежутках.

Сначала проведем общее исследование функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ для нахождения ее экстремумов.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета или решая через дискриминант, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Обе критические точки принадлежат всем рассматриваемым промежуткам.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x < -3$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-3$ — точка локального максимума, а $x=1$ — точка локального минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах рассматриваемого диапазона $(-4; 4)$:

• $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 27 + 27 = 27$ (локальный максимум)
• $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5$ (локальный минимум)
• $f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) = -64 + 48 + 36 = 20$
• $f(4) = 4^3 + 3(4)^2 - 9(4) = 64 + 48 - 36 = 76$

Теперь решим задачу для каждого из указанных промежутков.

а) на интервале (-4; 4)

На открытом интервале $(-4; 4)$ наибольшее и наименьшее значения могут достигаться только в точках экстремума, лежащих внутри интервала. Если же функция монотонно возрастает или убывает к границе, то экстремум на границе не достигается.

Кандидаты на экстремумы внутри интервала: $f(-3) = 27$ и $f(1) = -5$.

На границах интервала имеем предельные значения: $\lim_{x\to -4^+} f(x) = 20$ и $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$.

Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение $y_{min} = f(1) = -5$ достигается внутри интервала.

Для наибольшего значения сравним локальный максимум $f(-3) = 27$ с поведением функции у правой границы. Поскольку $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$ и $76 > 27$, функция стремится к значению $76$, но никогда его не достигает, так как $x=4$ не входит в интервал. Следовательно, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале [-4; 4)

На данном полуинтервале мы должны сравнить значения в критических точках $x=-3$, $x=1$ и на включенной границе $x=-4$.

Кандидаты: $f(-3)=27$, $f(1)=-5$, $f(-4)=20$. На невключенной границе $x=4$ имеем предел $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$.

Сравниваем значения $f(-3)$, $f(1)$ и $f(-4)$ для поиска наименьшего значения. Наименьшее из них $f(1) = -5$. Оно и будет наименьшим значением на всем полуинтервале.

Для поиска наибольшего значения сравним $f(-3)=27$ и $f(-4)=20$. Наибольшее из них $27$. Однако, как и в предыдущем пункте, функция стремится к $76$ при $x \to 4^-$, но не достигает этого значения. Так как $76 > 27$, наибольшего значения на полуинтервале $[-4; 4)$ не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале (-4; 4]

На данном полуинтервале мы должны сравнить значения в критических точках $x=-3$, $x=1$ и на включенной границе $x=4$.

Кандидаты: $f(-3)=27$, $f(1)=-5$, $f(4)=76$. На невключенной границе $x=-4$ имеем предел $\lim_{x\to -4^+} f(x) = 20$.

Сравниваем значения $f(1)=-5$ и $f(4)=76$. Предельное значение на левой границе $20$ не влияет на поиск наименьшего значения, так как $20 > -5$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{min} = f(1) = -5$.

Для поиска наибольшего значения сравниваем $f(-3)=27$ и $f(4)=76$. Наибольшее из них $76$. Поскольку точка $x=4$ включена в интервал, это значение достигается. Следовательно, наибольшее значение функции равно $y_{max} = f(4) = 76$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшее значение $y_{max} = 76$.