Страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.2 Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-4; 4]$, её график изображён на рисунке 102, а, б. Найдите критические точки функции на отрезке $[-4; 4]$. В каких из них производная функции равна нулю; в каких не существует?

а)

б)

Рис. 102

Критические точки функции — это внутренние точки её области определения (в данном случае, точки на интервале $(-4; 4)$), в которых производная функции равна нулю или не существует.

а)

Анализируем график функции на рисунке 102, а.

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x)=0$), соответствуют точкам на графике, где касательная горизонтальна. Это точки локальных экстремумов (минимумов и максимумов). По графику находим три такие точки: $x = -2$ (локальный минимум), $x = 1$ (локальный максимум) и $x = 3$ (локальный минимум).

Точек, в которых производная не существует, на интервале $(-4; 4)$ нет, так как график представляет собой гладкую кривую без изломов и заострений.

Таким образом, критическими точками являются $x = -2, x = 1, x = 3$.

Ответ: Критические точки: -2, 1, 3. Во всех этих точках производная равна нулю.

б)

Анализируем график функции на рисунке 102, б.

Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x)=0$), это точки с горизонтальной касательной. На графике это точки локальных минимумов $x = 1$ и $x = 3$.

Точки, в которых производная не существует, соответствуют точкам излома ("острым пикам") на графике. Это точки $x = -1$ и $x = 2$.

Таким образом, критическими точками являются $x = -1, x = 1, x = 2, x = 3$.

Ответ: Критические точки: -1, 1, 2, 3. В точках $x=1$ и $x=3$ производная равна нулю. В точках $x=-1$ и $x=2$ производная не существует.

5.3 В задании 5.2 укажите:

а) точки максимума и минимума;

б) точки локального экстремума;

в) максимум и минимум;

г) локальные экстремумы.

Поскольку в условии не приведено задание 5.2, для ответа на вопрос 5.3 сделаем разумное предположение о его содержании. Как правило, такие задачи предполагают анализ некоторой функции на экстремумы. Возьмем в качестве примера функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ и рассмотрим ее на отрезке $[-4, 4]$.

Сначала проведем исследование этой функции, которое могло бы составлять решение задания 5.2:

1. Найдем производную функции. Производная необходима для поиска критических точек.

   $f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)' = 3x^2 - 6x - 9$.

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю.

   $3x^2 - 6x - 9 = 0$

   $x^2 - 2x - 3 = 0$

   Решая квадратное уравнение (например, с помощью разложения на множители), получаем: $(x-3)(x+1) = 0$.

   Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[-4, 4]$.

3. Определим характер критических точек (точки локальных экстремумов). Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки делят область определения.
   • При $x < -1$ (например, $x=-2$), $f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$ (функция возрастает).
   • При $-1 < x < 3$ (например, $x=0$), $f'(0) = -9 < 0$ (функция убывает).
   • При $x > 3$ (например, $x=4$), $f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$ (функция возрастает).

   В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

4. Найдем значения функции. Чтобы найти глобальные (абсолютные) экстремумы на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
   • $f(-4) = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 5 = -64 - 48 + 36 + 5 = -71$
   • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
   • $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
   • $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 5 = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$

Теперь, на основе проведенного анализа, ответим на поставленные вопросы.

а) точки максимума и минимума;

Точки максимума и минимума (также называемые точками глобального или абсолютного экстремума) — это значения аргумента $x$, в которых функция на заданном отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Сравнивая вычисленные значения $f(-4)=-71$, $f(-1)=10$, $f(3)=-22$, $f(4)=-15$, находим:

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-4, 4]$ равно $10$ и достигается в точке $x = -1$.
• Наименьшее значение функции на отрезке $[-4, 4]$ равно $-71$ и достигается в точке $x = -4$.

Ответ: точка максимума $x = -1$; точка минимума $x = -4$.

б) точки локального экстремума;

Точки локального экстремума — это значения аргумента $x$, в которых наблюдается локальный максимум или минимум. Из анализа знака производной мы определили, что:

• $x = -1$ — точка локального максимума.
• $x = 3$ — точка локального минимума.

Ответ: точки локального экстремума: $x = -1$ (точка локального максимума), $x = 3$ (точка локального минимума).

в) максимум и минимум;

Максимум и минимум (глобальные или абсолютные) — это, соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

• Максимум функции на отрезке $[-4, 4]$: $\max_{x \in [-4, 4]} f(x) = f(-1) = 10$.
• Минимум функции на отрезке $[-4, 4]$: $\min_{x \in [-4, 4]} f(x) = f(-4) = -71$.

Ответ: максимум функции равен $10$; минимум функции равен $-71$.

г) локальные экстремумы.

Локальные экстремумы — это значения функции в точках локального экстремума.

• Локальный максимум — это значение функции в точке $x=-1$: $f(-1) = 10$.
• Локальный минимум — это значение функции в точке $x=3$: $f(3) = -22$.

Ответ: локальный максимум равен $10$; локальный минимум равен $-22$.

5.4* Выполните задание 5.3, если функция определена:

а) на интервале $(-4; 4)$;

б) на полуинтервале $[-4; 4)$;

в) на полуинтервале $(-4; 4]$.

Поскольку задание 5.3 не предоставлено, в качестве примера для выполнения задания 5.4 возьмем типичную задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Предположим, что в задании 5.3 требовалось исследовать функцию $y = x^3 + 3x^2 - 9x$. В задаче 5.4 необходимо найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанных промежутках.

Сначала проведем общее исследование функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ для нахождения ее экстремумов.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета или решая через дискриминант, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Обе критические точки принадлежат всем рассматриваемым промежуткам.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

• При $x < -3$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-3$ — точка локального максимума, а $x=1$ — точка локального минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах рассматриваемого диапазона $(-4; 4)$:

• $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 27 + 27 = 27$ (локальный максимум)
• $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5$ (локальный минимум)
• $f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) = -64 + 48 + 36 = 20$
• $f(4) = 4^3 + 3(4)^2 - 9(4) = 64 + 48 - 36 = 76$

Теперь решим задачу для каждого из указанных промежутков.

а) на интервале (-4; 4)

На открытом интервале $(-4; 4)$ наибольшее и наименьшее значения могут достигаться только в точках экстремума, лежащих внутри интервала. Если же функция монотонно возрастает или убывает к границе, то экстремум на границе не достигается.

Кандидаты на экстремумы внутри интервала: $f(-3) = 27$ и $f(1) = -5$.

На границах интервала имеем предельные значения: $\lim_{x\to -4^+} f(x) = 20$ и $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$.

Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение $y_{min} = f(1) = -5$ достигается внутри интервала.

Для наибольшего значения сравним локальный максимум $f(-3) = 27$ с поведением функции у правой границы. Поскольку $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$ и $76 > 27$, функция стремится к значению $76$, но никогда его не достигает, так как $x=4$ не входит в интервал. Следовательно, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале [-4; 4)

На данном полуинтервале мы должны сравнить значения в критических точках $x=-3$, $x=1$ и на включенной границе $x=-4$.

Кандидаты: $f(-3)=27$, $f(1)=-5$, $f(-4)=20$. На невключенной границе $x=4$ имеем предел $\lim_{x\to 4^-} f(x) = 76$.

Сравниваем значения $f(-3)$, $f(1)$ и $f(-4)$ для поиска наименьшего значения. Наименьшее из них $f(1) = -5$. Оно и будет наименьшим значением на всем полуинтервале.

Для поиска наибольшего значения сравним $f(-3)=27$ и $f(-4)=20$. Наибольшее из них $27$. Однако, как и в предыдущем пункте, функция стремится к $76$ при $x \to 4^-$, но не достигает этого значения. Так как $76 > 27$, наибольшего значения на полуинтервале $[-4; 4)$ не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшего значения не существует.

в) на полуинтервале (-4; 4]

На данном полуинтервале мы должны сравнить значения в критических точках $x=-3$, $x=1$ и на включенной границе $x=4$.

Кандидаты: $f(-3)=27$, $f(1)=-5$, $f(4)=76$. На невключенной границе $x=-4$ имеем предел $\lim_{x\to -4^+} f(x) = 20$.

Сравниваем значения $f(1)=-5$ и $f(4)=76$. Предельное значение на левой границе $20$ не влияет на поиск наименьшего значения, так как $20 > -5$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $y_{min} = f(1) = -5$.

Для поиска наибольшего значения сравниваем $f(-3)=27$ и $f(4)=76$. Наибольшее из них $76$. Поскольку точка $x=4$ включена в интервал, это значение достигается. Следовательно, наибольшее значение функции равно $y_{max} = f(4) = 76$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -5$, наибольшее значение $y_{max} = 76$.