Страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.16 При каком значении $a$ наибольшее значение функции $y = |x - a|$ на отрезке $[-2; 3]$:

а) равно 4,5;

б) равно 3,5;

в) достигается в двух точках?

Наибольшее значение функции $y = |x - a|$ на замкнутом отрезке $[-2; 3]$ достигается на одном из его концов, так как ее график представляет собой "галочку", вершина которой является точкой минимума. Следовательно, искомое наибольшее значение $M(a)$ равно наибольшему из значений функции в точках $x=-2$ и $x=3$.

$M(a) = \max(y(-2), y(3)) = \max(|-2-a|, |3-a|) = \max(|a+2|, |a-3|)$.

Для нахождения этого максимума сравним значения $|a+2|$ и $|a-3|$. Равенство $|a+2| = |a-3|$ достигается, когда точка $a$ на числовой прямой равноудалена от точек $-2$ и $3$. Такой точкой является середина отрезка $[-2; 3]$, то есть $a = \frac{-2+3}{2} = 0.5$.

Если $a > 0.5$, точка $a$ находится ближе к $3$, чем к $-2$, поэтому $|a-3| < |a+2|$. В этом случае $M(a) = |a+2| = a+2$ (так как $a > 0.5 > -2$).

Если $a < 0.5$, точка $a$ находится ближе к $-2$, чем к $3$, поэтому $|a+2| < |a-3|$. В этом случае $M(a) = |a-3| = 3-a$ (так как $a < 0.5 < 3$).

Теперь мы можем решить каждую из подзадач.

а) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение функции равно 4,5. То есть, $M(a) = 4.5$.

Рассмотрим два случая:

1. При $a \le 0.5$, имеем уравнение $3 - a = 4.5$. Отсюда $a = 3 - 4.5 = -1.5$. Условие $a \le 0.5$ выполняется, так как $-1.5 \le 0.5$.

2. При $a > 0.5$, имеем уравнение $a + 2 = 4.5$. Отсюда $a = 4.5 - 2 = 2.5$. Условие $a > 0.5$ выполняется, так как $2.5 > 0.5$.

Таким образом, подходят два значения параметра $a$.

Ответ: $a = -1.5$ или $a = 2.5$.

б) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение функции равно 3,5. То есть, $M(a) = 3.5$.

Рассмотрим те же два случая:

1. При $a \le 0.5$, имеем уравнение $3 - a = 3.5$. Отсюда $a = 3 - 3.5 = -0.5$. Условие $a \le 0.5$ выполняется, так как $-0.5 \le 0.5$.

2. При $a > 0.5$, имеем уравнение $a + 2 = 3.5$. Отсюда $a = 3.5 - 2 = 1.5$. Условие $a > 0.5$ выполняется, так как $1.5 > 0.5$.

Таким образом, подходят два значения параметра $a$.

Ответ: $a = -0.5$ или $a = 1.5$.

в) Требуется найти $a$, при котором наибольшее значение достигается в двух точках.

Как было установлено, наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 3]$ достигается на его концах. Чтобы это значение достигалось в двух точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка были равны:

$y(-2) = y(3)$

$|-2 - a| = |3 - a|$

$|a + 2| = |a - 3|$

Это равенство, как было показано ранее, выполняется только в одной точке $a$, которая является серединой отрезка $[-2; 3]$.

$a = \frac{-2 + 3}{2} = 0.5$

При $a = 0.5$ наибольшее значение функции равно $y(-2) = y(3) = |0.5 + 2| = 2.5$, и оно достигается в двух точках: $x=-2$ и $x=3$. При любом другом значении $a$ значение на одном из концов будет строго больше, чем на другом, и, следовательно, максимум будет достигаться только в одной точке.

Ответ: $a = 0.5$.

5.17 ИССЛЕДУЕМ. Последовательность задана формулой общего члена:

a) $x_n = n^2 - 30.5n + 205$;

б) $x_n = n^2 - 40.5n + 305$.

Найдите наименьший член последовательности.

а) $x_n = n^2 - 30,5n + 205$

Чтобы найти наименьший член последовательности, заданной формулой $x_n = n^2 - 30,5n + 205$, мы можем рассмотреть соответствующую квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 30,5n + 205$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен (равен 1). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс (в данном случае по оси $n$) вычисляется по формуле $n_0 = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1$ и $b=-30,5$.

$n_0 = -(-30,5) / (2 \cdot 1) = 30,5 / 2 = 15,25$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, наименьший член последовательности будет соответствовать одному из двух натуральных чисел, ближайших к найденному значению $n_0 = 15,25$. Этими числами являются $n=15$ и $n=16$.

Вычислим значения члена последовательности для этих двух номеров:

При $n=15$:
$x_{15} = 15^2 - 30,5 \cdot 15 + 205 = 225 - 457,5 + 205 = 430 - 457,5 = -27,5$.

При $n=16$:
$x_{16} = 16^2 - 30,5 \cdot 16 + 205 = 256 - 488 + 205 = 461 - 488 = -27$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-27,5 < -27$. Следовательно, наименьший член последовательности равен $-27,5$.

Ответ: -27,5.

б) $x_n = n^2 - 40,5n + 305$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Рассмотрим квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 40,5n + 305$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a=1$ положителен.

Найдем координату вершины параболы по оси $n$, где $a=1$ и $b=-40,5$:

$n_0 = -(-40,5) / (2 \cdot 1) = 40,5 / 2 = 20,25$.

Так как $n$ — натуральное число, наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух натуральных чисел, ближайших к $n_0 = 20,25$. Этими числами являются $n=20$ и $n=21$.

Вычислим значения члена последовательности для этих номеров:

При $n=20$:
$x_{20} = 20^2 - 40,5 \cdot 20 + 305 = 400 - 810 + 305 = 705 - 810 = -105$.

При $n=21$:
$x_{21} = 21^2 - 40,5 \cdot 21 + 305 = 441 - 850,5 + 305 = 746 - 850,5 = -104,5$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $-105 < -104,5$. Следовательно, наименьший член последовательности равен $-105$.

Ответ: -105.