Номер 5.6, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.6, страница 120.
№5.6 (с. 120)
Условие. №5.6 (с. 120)
скриншот условия

Найдите критические точки функции $y = f(x)$ на указанном промежутке, если (5.6—5.9):
5.6 a) $y = 2x^3 - 3x^2$, [-3; 3];
б) $y = 5x^3 - 15x$, [-2; 2];
в) $y = 3x^4 + x^3 + 7$, [-3; 2];
г) $y = x^4 - 4x^2$, [-4; 4].
Решение 1. №5.6 (с. 120)




Решение 2. №5.6 (с. 120)



Решение 4. №5.6 (с. 120)
а) Дана функция $y = 2x^3 - 3x^2$ на промежутке $[-3; 3]$.
Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Область определения данной функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3 - 3x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x$.
2. Производная $y' = 6x^2 - 6x$ существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $6x^2 - 6x = 0$
$6x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 3]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 0 \le 3$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 1 \le 3$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.
Ответ: $0; 1$.
б) Дана функция $y = 5x^3 - 15x$ на промежутке $[-2; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (5x^3 - 15x)' = 5 \cdot 3x^2 - 15 = 15x^2 - 15$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $15x^2 - 15 = 0$
$15(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-2; 2]$.
Точка $x_1 = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le -1 \le 2$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le 1 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.
Ответ: $-1; 1$.
в) Дана функция $y = 3x^4 + x^3 + 7$ на промежутке $[-3; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (3x^4 + x^3 + 7)' = 3 \cdot 4x^3 + 3x^2 = 12x^3 + 3x^2$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $12x^3 + 3x^2 = 0$
$3x^2(4x + 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $4x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/4$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le 0 \le 2$.
Точка $x_2 = -1/4$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le -0.25 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.
Ответ: $-1/4; 0$.
г) Дана функция $y = x^4 - 4x^2$ на промежутке $[-4; 4]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 4x^2)' = 4x^3 - 4 \cdot 2x = 4x^3 - 8x$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $4x^3 - 8x = 0$
$4x(x^2 - 2) = 0$
Отсюда получаем три решения: $x_1 = 0$, $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-4; 4]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le 0 \le 4$.
Точка $x_2 = \sqrt{2}$ (приблизительно $1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le \sqrt{2} \le 4$.
Точка $x_3 = -\sqrt{2}$ (приблизительно $-1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le -\sqrt{2} \le 4$.
Следовательно, все три точки являются критическими на указанном промежутке.
Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.6 расположенного на странице 120 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.6 (с. 120), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.