Номер 5.6, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.6, страница 120.

Условие.

Найдите критические точки функции $y = f(x)$ на указанном промежутке, если (5.6—5.9):

5.6 a) $y = 2x^3 - 3x^2$, [-3; 3];

б) $y = 5x^3 - 15x$, [-2; 2];

в) $y = 3x^4 + x^3 + 7$, [-3; 2];

г) $y = x^4 - 4x^2$, [-4; 4].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $y = 2x^3 - 3x^2$ на промежутке $[-3; 3]$.
Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Область определения данной функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3 - 3x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 6x^2 - 6x$.
2. Производная $y' = 6x^2 - 6x$ существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $6x^2 - 6x = 0$
$6x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 3]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 0 \le 3$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-3; 3]$, так как $-3 \le 1 \le 3$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $0; 1$.

б) Дана функция $y = 5x^3 - 15x$ на промежутке $[-2; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (5x^3 - 15x)' = 5 \cdot 3x^2 - 15 = 15x^2 - 15$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $15x^2 - 15 = 0$
$15(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-2; 2]$.
Точка $x_1 = -1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le -1 \le 2$.
Точка $x_2 = 1$ принадлежит промежутку $[-2; 2]$, так как $-2 \le 1 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-1; 1$.

в) Дана функция $y = 3x^4 + x^3 + 7$ на промежутке $[-3; 2]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (3x^4 + x^3 + 7)' = 3 \cdot 4x^3 + 3x^2 = 12x^3 + 3x^2$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $12x^3 + 3x^2 = 0$
$3x^2(4x + 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $4x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/4$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-3; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le 0 \le 2$.
Точка $x_2 = -1/4$ принадлежит промежутку $[-3; 2]$, так как $-3 \le -0.25 \le 2$.
Следовательно, обе точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-1/4; 0$.

г) Дана функция $y = x^4 - 4x^2$ на промежутке $[-4; 4]$.
Область определения функции – все действительные числа. 1. Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 4x^2)' = 4x^3 - 4 \cdot 2x = 4x^3 - 8x$.
2. Производная существует при всех значениях $x$.
3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $4x^3 - 8x = 0$
$4x(x^2 - 2) = 0$
Отсюда получаем три решения: $x_1 = 0$, $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_2 = \sqrt{2}, x_3 = -\sqrt{2}$.
4. Проверим, принадлежат ли найденные точки заданному промежутку $[-4; 4]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le 0 \le 4$.
Точка $x_2 = \sqrt{2}$ (приблизительно $1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le \sqrt{2} \le 4$.
Точка $x_3 = -\sqrt{2}$ (приблизительно $-1.414$) принадлежит промежутку $[-4; 4]$, так как $-4 \le -\sqrt{2} \le 4$.
Следовательно, все три точки являются критическими на указанном промежутке.

Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}$.